Chủ đề 4. Ước chung, ước chung lớn nhất. Bội chung, bội chung nhỏ nhất_Dạng 2. Một số bài toán thực tế

Lý thuyết

*Tìm ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

*Tìm BCNN:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Bài tập

Bài 1:

Lớp 7A2 có 28 học sinh nam, 21 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia lớp thành các tổ sao cho mỗi tổ có cùng số học sinh nam và số học sinh nữ?

Giải 1

Ta có:
24 = 2³ x 3
18 = 3² x 2

Ước tính chung lớn nhất của 24 và 18 là 2 x 3 = 6.

Do đó, có thể chia lớp thành 6 tổ, mỗi tổ có 24/6 = 4 học sinh nam và 18/6 = 3 học sinh nữ.

Giải 2

Có 4 cách:
Cách 1: Chia 3 tổ mỗi tổ 8 nam 6 nữ
Cách 2: Chia 4 tổ mỗi tổ 6 nam 3 nữ
Cách 3: Chia 2 tổ mỗi tổ 12 nam 9 nữ
Cách 4: Chia 6 tổ mỗi tổ 4 nam 3 nữ

Phương pháp

a) Bước 1: Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

b) Bước 1: Viết tập hợp các bội B(a) của a và các bội B(b) của b.

Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Lời giải

a) Ta có:

Ư(32) = {1;2;4;8;16;32}

Ư(24) = {1;2;3;4;6;8;12;24}

Do đó, ƯC(32,24) = {1;2;4;8}

Bài 2:

Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, 25 người hoặc 30 người thì đều thừa 12 người. Nếu xếp mỗi hàng 38 người thì vừa đủ. Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị không quá 1000 người.

Phương pháp

Gọi số người của đơn vị là x ( người, x ∈ N^∗;x ≤ 1000)

Nếu x chia cho m dư n thì (x – n) ⋮ m

* Bội của BCNN (a,b) là BC(a,b)

* Tìm BCNN:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Lời giải

Gọi số người của đơn vị là x ( người, x ∈ N^∗; x ≤ 1000)

Vì x chia cho 15 dư 12 nên (x – 12) ⋮ 15

Vì x chia cho 20 dư 12 nên (x – 12) ⋮ 20

Vì x chia cho 25 dư 12 nên (x – 12) ⋮ 25

Do đó, ( x – 12 ) ∈ ƯC(15,20,25)

Ta có:

15 = 3 . 5

20 = 2² . 5

25 = 5²

BCNN(15,20,25) = 2² . 3 . 5² = 300.

( x – 12 ) ∈ ƯC(15,20,25) = Ư(300) = {0;300;600;900;1200;…}

Do đó, x ∈ { 12;312;612;912;1212;…}

Mà x  ≤ 1000 và x chia hết cho 38 nên x = 912.

Vậy đơn vị có 912 người.

Bài 3:

lớp học có 30 nam và 18 nữ . chia lớp thành các tổ sao cho mỗi tổ ; số nam , số nữ bằng nhau . hỏi cách chia thành nhiều nhất bao nhiêu tổ . lúc đó mỗi tổ có bao nhiêu nam , bao nhiêu nữ?

Gọi số tổ có thể chia nhiều nhất là a ( a $\in$ N* )

Theo đề bài ta có

30 $⋮$ a

18 $⋮$ a

a lớn nhất

$\Rightarrow$ a $\in$ ƯCLN ( 18 ; 30 )

18 = 2 . 3²

30 = 2 . 3 . 5

a $\in$ ƯCLN ( 18 ;30 ) = 2 . 3 = 6

$\Rightarrow$ a = 6

Vậy số tổ có thể chia nhiều nhất là 6 tổ .

Khi đó mỗi tổ có số nam là

30 : 6 = 5 ( nam )

Mỗi tổ có số nữ là

18 : 6 = 3 ( nữ )

ĐS :