* SỐ CHÍNH PHƯƠNG_DẠNG 3

 

a)    DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương

a) n² + 2n + 12               b) n(n + 3)

c) 13n + 3                      d) n² + n + 1589

Hướng dẫn

a)Vì n² + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n² + 2n + 12  = k² (k  N)

  (n² + 2n + 1) + 11 = k² k² – (n + 1)² = 11  (k + n + 1)(k – n - 1) = 11

Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1                 k + n + 1 = 11           k = 6

k - n – 1 = 1                             n = 4

b) Đặt n(n + 3) = a² (n  N)  n² + 3n = a²          4n² + 12n = 4a²

                                                                   (4n² + 12n + 9) – 9 = 4a²

                                                                    (2n + 3)² – 4a² = 9

(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1         2n + 3 + 2a = 9         n = 1

2n + 3 – 2a = 1              a = 2

c) Đặt 13n + 3 = y² (y  N)      13(n - 1) = y² – 16

13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)

(y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13

 y = 13k  4 (với k  N)

 13(n - 1) = (13k  4)² – 16 = 13k.(13k  8)

13k²  8k + 1

Vậy n = 13k²  8k + 1 (với k  N) thì 13n + 3 là số chính phương

d) Đặt n² + n + 1589 = m² (m  N)    (4n² + 1)² + 6355 = 4m²

(2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết  (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28

 

Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương

a)       a² + a + 43

b)      a² + 81

c)       a² + 31a + 1984

Đáp số:

a)       2; 42; 13

b)      0; 12; 40

c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728

 

Bài 3: Tìm số tự nhiên n  1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương.

Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương

Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương

Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 3² là số chính phương

Với n  4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương.

Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3

 

Bài 4: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n² là số chính phương.

Giả sử 2010 + n² là số chính phương thì 2010 + n² = m² (m )

Từ đó suy ra m² - n² = 2010 (m + n) (m – n) = 2010

Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)

Mặt khác m + n + m – n = 2m  2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)

Từ (1) và (2)  m + n và m – n là 2 số chẵn.

 (m + n) (m – n)  4 nhưng 2006 không chia hết cho 4

 Điều giả sử sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n² là số chính phương.

 

Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.

Ta có 10  n  99 nên 21  2n + 1  199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84

Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.

Vậy n = 40

 

Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ là số chính phương

Giả sử 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = a² (a  N) thì

2ⁿ = a² – 48² = (a + 48) (a – 48)

2^p. 2^q = (a + 48) (a – 48) với p, q  N ; p + q = n và p > q

      a + 48 = 2^p  2^p 2^q = 96 2^q (2^p-q – 1) = 2⁵.3

a – 48 = 2^q

 q = 5 và p – q =  2  p = 7

 n = 5 + 7 = 12

Thử lại ta có: 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 80²