Toán 6_Số học_CHỦ ĐỀ 6: TÍNH TỔNG CÁC LŨY THỪA THEO QUY LUẬT.

DẠNG 1: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1 + a + a2 + a3 + ….+ an    (1)

I/ PHƯƠNG PHÁP.

B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được.              

    a.S = a + a² + a³ + a⁴ + ….+ a^{n +} 1                                        (2)

B2: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế được:                                          

 
II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

    Bài 1: Tính tổng S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +…..+ 2¹⁰⁰

    Bài 2: Tính tổng S = 6 + 6² + 6³ + 6⁴ + …..+ 6⁹⁹

    Bài 3: Tính tổng S = 1 + 4 + 4² + 4³ + …...+ 4¹⁰⁰⁰

    Bài 4: Tính tổng

    Bài 5: Tính tổng

DẠNG 2: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1 + a₂ + a₄ + a₆ + ….+ a_2n    (1)

I/ PHƯƠNG PHÁP.

B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a² ta được.

          a²S = a² + a⁴ + a⁶ + a⁸ + ….+ a^{2n + 2}                                               (2)

B2: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế được:

     

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

    Bài 1: Tính tổng S = 1 + 2² + 2⁴ + 2⁶ + …..+ 2⁹⁸ + 2¹⁰⁰

    Bài 2: Tính tổng S = 6² + 6⁴ + 6⁶ + …..+ 6⁹⁸ + 6¹⁰⁰

    Bài 3: Tính tổng 1 + 3² + 3⁴ + 3⁶ + …...+ 31⁰⁰ + 3¹⁰²

    Bài 4: Tính tổng

    Bài 5: Tính tổng

DẠNG 3: TỔNG CÓ DẠNG: S = a + a³ + a⁵ + a⁷ + ….+ a^{2n + 1} (1)                             

I/ PHƯƠNG PHÁP.                              

B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a² ta được.

    a²S = a³ + a⁵ + a⁷ + a⁹ + ….+ a^{2n + 3}         (2)                       

B2: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế được:

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

    Bài 1: Tính tổng S = 1 + 2 + 2³ + 2⁵ + …..+ 2⁹⁹ + 2¹⁰¹

    Bài 2: Tính tổng S = 6³ + 6⁵ + 6⁷ + …..+ 6⁹⁹ + 6¹⁰¹

    Bài 3: Tính tổng S = 1 + 3³ + 3⁵ + 3⁷ + …...+ 3¹⁰¹ + 3¹⁰³

    Bài 4: Tính tổng

Bài 5: Tính tổng

DẠNG 4: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1).n              (1)

I/ PHƯƠNG PHÁP. 

Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1 => Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) ta được.

    3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ….+ (n – 2).(n – 1) .3+ (n - 1).n.3

    = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ….+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)]

    + (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)]

    = (n – 1).n.(n + 1)

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

    Bài 1: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …..+ 99.100

    Bài 2: Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + …..+ 99.101

    Bài 3: Tính tổng S = 1.4 + 4.7 + 7.10 + …37.40 + 40.43

DẠNG 5: TỔNG CÓ DẠNG: P = 1² + 2² + 3² + 4² + … + n²

I/ PHƯƠNG PHÁP.

Áp dụng tổng của DẠNG 5 là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ n(n+1)

    S = 1.(1 + 1) +2 (2 +1 ) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) +…+ n(n + 1)

    = (1² + 2² + 3² + 4² + … + n²) + (1 + 2 + 3 + …. + n)

    = P + (1 + 2 + 3 + …. + n)

    => P = S - (1 + 2 + 3 + …. + n)

    Trong đó theo DẠNG 5 thì

Theo DẠNG 1

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

    Bài 4: Tính tổng P = 1² + 2² + 3² + …+ 50²

    Bài 5: Tính tổng Q = 1² + 2² + 3² + …+ 51²

DẠNG 6: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1² + 3² + 5² + …+ (2n+1)²

I/ PHƯƠNG PHÁP.

    Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k Với k = 2n + 2

    = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k

    = 1(0 + 2) + 3(2 + 4) + 5(4 + 6) + …+ (k – 1). [(k– 2) + k]

= 1.2 + 3. 6 + 5.10 +…+ (k - 1).(2k – 2)

= 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +…+ (k – 1).(k – 1).2

    = 2.[1² + 3² + 5² + ….+ (k – 1)²]

    = 2.[1² + 3² + 5² + ….+ (2n + 1)²]

    = 2.S

    mà theo DẠNG 5 thì tổng

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

    Bài 1: Tính tổng S = 1² + 3² + 5² + …+ 99²

    Bài 2: Tính tổng S = 5² + 7² + 9² +…+ 101²

    Bài 3: Tính tổng S = 11² + 13² + ….+ 2009²

DẠNG 7: TỔNG CÓ DẠNG: S = 2² + 4² + 6² + …+ (2n)²

I/ PHƯƠNG PHÁP.

Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k Với k = 2n + 1

    = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k

    = 2(1 + 3) + 4(3 + 5) + 6(5 + 7) + …+ (k – 1). [(k– 2) + k]

    = 2.4 + 4.8 + 6.12 +…+ (k - 1).(2k – 2)

    = 2.2.2 + 4.4.2 + 6.6.2 +…+ (k – 1).(k – 1).2

    = 2.[1² + 3² + 5² + ….+ (k – 1)²]

    = 2.[2² + 4² + 6² + ….+ (2n)²]

    = 2.S

mà theo DẠNG 5 thì tổng

Áp dụng tính: P = 1² + 2² + 3² + ….+ n²

Xét: S = 2² + 4² + 6² + …+ (2n)²

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

    Bài 1: Tính tổng M = 2² + 4² + 6² + …+ 100²

    Bài 2: Tính tổng N = 6² + 8² + 10² +…+ 102²

    Bài 3: Tính tổng H = 12² + 14² + ….+ 2010²

    Bài 4: Tính tổng P = 1² + 2² + 3² + …+ 100²

    Bài 5: Tính tổng Q = 1² + 2² + 3² + …+ 101²

    Bài 6: Tính tổng A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + …+ 10000.

    Bài 7: Tính tổng K = - 1² + 2² – 3² + 4² – 5² +….- 19² + 20²

    Bài 8: Biết rằng 1² + 2² + 3² +…+ 10² = 385, Tính tổng S = 2² + 4² + 6² + … + 20²

DẠNG 8: TỔNG CÓ DẠNG: S = a₁.a₂ + a₂.a3 + a₃.a₄ + a₄.a₅ + ….+ a_n-1. a_n             (1)

I/ PHƯƠNG PHÁP. 

* Với a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = ….= a_n - a_n-1 = 2

S = a₁.(a₁ + 2) + a₂. (a₂ + 2) + a₃. (a₃ + 2) + a₄. (a₄ + 2) + ….+ a_n-1. (a_{n - 1} + 2)

    = S₁+k.S₂

    S₂ = a₁+ a₂+ a₃+…+a_n-1  được tính theo DẠNG 1.

    * Với a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = ….= a_n - a_n-1 = k > 2

    Nhân cả hai vế với 3k , rồi tách 3k ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu.

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

    Bài 1: Tính tổng M = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ….+ 49.51

    Bài 2: Tính tổng N = 2.4 + 4.6 + 6.8 + …..+ 100.102

    Bài 3: Tính tổng P = 1.4 + 4.7 + 7.10 + ….+ 49.52

Hướng dẫn

    Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 3

    => Nhân cả hai vế với 9 ta có:

    9P = 1.4.9 + 4.7.9 + 7.10.9 + ….+ 46.49.9 + 49.52.9

    = 1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 – 1) + 7.10.(13 – 4) + …+ 46.49.(52 – 43) + 49.52.(55 – 46)

    = 1.4.2 + 49.52.55

    = 140148

    => P = 15572

Bài 4: Tính tổng S = 2.6 + 6.10 + 10.14 + 14.18 + ….+42.46 + 50.54

DẠNG 9: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1.a₂.a₃ + a₂.a₃ .a₄ + a₃.a₄ .a₅ + a₄.a₅.a₆ + ….+ a_n-2 .a_n-1. a_n

    Với a₂ – 1 = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ =….= a_n - a_n-1 = k

    Nhân hai vế với 4k, rồi tách 4k ở mỗi số hạng trong tổng để số hạng trước và số hạng sau tạo thành những số tự triệt tiêu nhau.

    4k.S = 1.a₂.a₃.4k + a₂.a₃ .a₄.4k + a₃.a₄ .a₅.4k + a₄.a₅.a₆.4k + ….+ a_n-2 .a_n-1. a_n.4k

    = a_n-2 .a_n-1. a_n.(a_n + k)

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …..+ 16.17.18 + 17.18.19

Hướng dẫn

    Khoảng cách giữa các thừa số bằng 1 => Nhân hai vế với 4 ta được.

    4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + …..+ 16.17.18.4 + 17.18.19.4

    = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + …+ 16.17.18.(19 – 15) + 17.18.19.(20 – 16)

    = 17.18.19.20 = 116280

Bài 2: Tính tổng S = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + …+ 95.97.99

    Gợi ý: Nhân hai vế với 8

Bài 3: Tính tổng A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + 18.19.20.21 + 19.20.21.22

    Gợi ý: Nhân hai vế với 5

DẠNG 10: TỔNG CÓ DẠNG: S = 1 + 2³ + 3³ + 4³ + …+ n³

I/ PHƯƠNG PHÁP.

Áp dụng tổng: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)

Trong mỗi số hạng, tách thừa số đầu và thừa số sau theo tổng và hiệu của thừa số giữa với 1. Ta có:

    B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + … + (n - 1)n(n + 1)

    = (2³ - 2) + (3³ - 3) + … + (n³ - n)

    = (2³ + 3³ + …+ n³) - (2 + 3 + …+ n)

    = (1 + 2³ + 3³ + …+ n³) - (1 + 2 + 3 + …+ n)

    => S = B + (1 + 2 + 3 + …+ n)

    Trong đó: Theo DẠNG 10 thì:

Theo DẠNG 1 thì:

II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

    Bài 1: Tính tổng S = 1³ + 2³ + 3³ + … + 100³

    Bài 2: Tính tổng S = 1³ + 2³ + 3³ + … + 51³