tR

 


A/ Kiến thức cơ bản:



1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n
thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a



 
2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số am.an=am-n.



3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số am:an=am-n
( a ≠ 0, m ≥ n)



Quy ước a0 = 1 ( a ≠ 0)



4. Luỹ thừa của luỹ thừa (am)n
= am-n



5. Luỹ thừa một tích (a.b)m = am .bm



6. Một số luỹ thừa của 10:



    - Một nghìn: 1 000 = 103



    - Một vạn: 10 000 = 104



    - Một triệu: 1 000 000 = 106



    - Một tỉ: 1 000 000 000 = 109



Tổng quát: nếu n là số tự
nhiên khác 0 thì: 10n = 1000…00 (có n chữ số 0)

7. Thứ tự thực hiện phép tính:

Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu
phép toán ta làm như sau:

-
Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép
nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

-
Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên
lũy thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối
cùng đến cộng trừ.

-
Nếu biểu thức có dấu ngoặc ( ), [ ], { } ta thực hiện các phép tính trong ngoặc
tròn trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép
tính trong ngoặc nhọn.

B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.

DẠNG 1: THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA.

Bài 1: viết các tích sau
dưới dạng 1 lũy thừa

a)  
5.5.5.5.5.5







 a) 5.5.5.5.5.5 = 56



b)  
2.2.2.2.3.3.3.3







b) 2.2.2.2.3.3.3.3= 24. . 34



c)  
100.10.2.5







c) 100.10.2.5 =10 .10.10.10 =104




Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a)  
34: 32







a) 34: 32 = 32 = 9



b)  
24: 22    







b) 24.. 22 = 16 .4 = 54



c) (24)2







c) (24.)2 = 28 = 256




Bài 3: Viết các tích sau
đây dưới dạng một lũy thừa của một số:

a)
A = 82.324







a) A = 82.324 = 26.220 = 226. hoặc A = 413



b)
B = 273.94.243







b) B = 273.94.243 = 322




Bài 4: Tìm các số mũ n
sao cho lũy thừa 3n thỏa mãn điều kiện:

25 < 3n < 250







Ta có: 32 = 9, 33 = 27 > 25, 34 = 41, 35 = 243 < 250

nhưng 36 = 243. 3 = 729 > 250

Vậy với số mũ n = 3,4,5 ta có 25 < 3n < 250




Bài 5: Viết các số sau
đây dưới dạng lũy thừa của một số.

          a) A = 253.125         b) B = 643.2562

DẠNG 2: SO SÁNH CÁC LŨY THỪA.

Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi
về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa
trung gian để so sánh)

Với a , b , m , n N , ta có:    a > b ó an > bn n N*

                                                m > n ó am > an (a > 1)

                                      a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n ≠ 0)

Với A , B là các biểu thức ta có :

                                       An
> Bn
ó A > B > 0

                                       Am
> An
ó m > n và A > 1

                                       m
< n và 0 < A < 1

Bài 1 : So sánh :

a)
33317 và 33323







 a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323



b)
200710 và 200810







b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810



c)
(2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999







c) Ta có :   (2008-2007)2009 = 12009 = 1

                   1998 - 1997)1999 = 11999 = 1

                    (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999




Bài 2: So sánh

a,
2300 và 3200







a,      Ta có : 2300 = (23)100 = 8100

          3200 = (32)100 = 9100      

Vì 8100 < 9100 => 2300 < 3200



b,
3500 và 7300







b, Tương tự câu a, ta có :    3500 = (35)100 = 243100

7300 = (73)100 = 343100

Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300



c,
85 và 3.47







 c, Ta có : 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47



d,
202303 và 303202







 d, Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101

303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101

Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202



e, 9920 và 999910







 e, Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910



f, 111979 và 371320







 f, ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660   (1)

371320 = (372)660 = 1369660

Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320                 (2)



g, 1010 và 48.505







g, Ta có : 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510               (*)

48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510                (**)

Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 



h, 199010 + 1990 9 và 199110







 h, Có : 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909         

                   199110 = 1991. 19919

Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110




Bài 3 . Chứng tỏ rằng : 527
< 263 < 528







Hãy chứng tỏ 263 > 527 và 263 < 528

Ta có :       263 = (27)9 = 1289

                   527 =(53)9 = 1259

Lại có :       263 = (29)7 = 5127          => 263 > 527         (1)

                   528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528       (2)

Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 




Bài 4 . So sánh :

a,
10750 và 7375







 a, Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150                 (1)

                        7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150        (2)

Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375



b,
291 và 535







 b, 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535

Vậy 291 > 535




Bài 5: So sách các cặp số
sau:

a)
A = 275 và B = 2433







a) Ta có A = 275 = (33)5 = 315 và B = (35)3 = 315        Vậy A = B



b)
A = 2 300 và B = 3200







 b) A = 2 300 = 33.100 = 8100 và B = 3200 = 32.100 = 9100

Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.



Ghi chú: Trong hai lũy thừa
có cùng cơ số, luỹ thừa nào số mũ lớn hơn thì lớn hơn.

a2 gọi
bình phương của a hay a bình phương

a3
gọi là lập phương của a hay a lập phương

Bài 6: Tính và so sánh

a)
A = (3 + 5)2 và B = 32 + 52







a) A > B

b)
C = (3 + 5)3 và D = 33 + 53







b) C > D

Lưu ý HS tránh sai lầm khi viết (a + b)2
= a
2 + b2 hoặc (a + b)3 = a3 + b3

Bài 7: Tìm các giá trị của
số mũ n sao cho.

a)
5 < 2n < 100
           

b)
50 < 7n < 2500

Bài 8: So sánh các số.        

    a)
1030 và 2100

    b)
3450 và 5300         

    c)
333444 và 444333

Hướng dẫn:

          Biến
đổi đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số rồi so sánh

Bài 9: Tìm các số tự
nhiên n sao cho :

a,
3 < 3n ≤ 234

b,
8.16 ≥ 2n ≥ 4

Hướng dẫn: đưa các số về
các lũy thừa có cùng cơ số .

Bài 10: Tìm số tự nhiên n
biết rằng :

          415
. 915 < 2n . 3n < 1816 . 216

Gợi ý: quan sát , nhận
xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích để đưa về cùng cơ số

Bài 11: So sánh các số
sau?

a)
2711 và 818.

b)
6255 và 1257

c)
536 và 1124

d)
32n và 23n (n

N* )

Hướng dẫn:     

a)
Đưa về cùng cơ số 3.

b)
Đưa về cùng cơ số 5.

c)
Đưa về cùng số mũ 12.

d)
Đưa về cùng số mũ n

Bài 12: So sánh các số
sau:

a)
523 và 6.522

b)
7.213 và 216

c)
2115 và 275.498

Hướng dẫn:     

a)
Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522.

b)
Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213.

c)
Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.

Bài 13: So sánh các số
sau:

a)
19920 và 200315.

b)
339 và 1121.

Hướng dẫn :    

a)
19920 < 20020 = (23 .52)20
= 260. 540.

200315
> 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15
= 260.545

b)
339 <340 = (32)20 = 920<1121.

Bài 14: So sánh 2 hiệu, hiệu
nào lớn hơn: 

    72 45-7244 và 72 44-7243.







 Hướng dẫn:

7245 - 7244 = 7245(72 - 1) = 7245.71.

7244 - 7244 = 7244(72 - 1) = 7244.71.




Bài 15: So sánh các số
sau:

a)
95 và 273







a) Ta có:    95 = (32)5 = 310

                   273 = (33 )3 = 39

          Vì 310 > 39 nên 95 > 273 



b)
3200 và 2300







 b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100

          2300 = (23100 = 8100

          Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300



c)
3500 và 7300







 c) 3500 và 7300

3500 = 35.100 = (35)100 = 243100

7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100

Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300



d)
85 và 3 . 47 . 85







d) có 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47

          => 85 < 3 . 47



e)
202303 và 303202







e) 202303 và 303202

          202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101

Ta so sánh 2023 và 3032

2023 = 23. 101 . 1013 và 3032 => 3032 < 2023

3032 = 33. 1012 = 9.1012

Vậy 303202 < 2002303




DẠNG 3: THỨ TỰ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH - ƯỚC LƯỢNG CÁC PHÉP TÍNH

Bài 1: Tính giá trị của
biểu thức: A = 2002.20012001 – 2001.20022002







 Hướng dẫn

A = 2002.(20010000 + 2001) – 2001.(20020000 + 2002)

= 2002.(2001.104 + 2001) – 2001.(2002.104 + 2001)

= 2002.2001.104 + 2002.2001 – 2001.2002.104 – 2001.2002 = 0




Bài 2: Thực hiện phép
tính

a)
A = (456.11 + 912).37 : 13: 74







A = 228

b)
B = [(315 + 372).3 + (372 + 315).7] : (26.13 + 74.14)







B = 5


Bài 3: Tính giá trị của
biểu thức

a)
12:{390: [500 – (125 + 35.7)]}







a) 4

b)
12000 –(1500.2 + 1800.3 + 1800.2:3)







b) 2400


DẠNG 4: TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA.

Khi giải bài toán tìm x có luỹ thừa phải
biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số hoặc các luỹ thừa cùng số mũ và các trường
hợp đặc biệt

Bài 1: Tìm x, biết:

a)
2x = 16 







ĐS: x = 4
                              

b)
x50 = x =>x= 0;1 







ĐS: x ∈{0;1}
                 

Bài 1: Tìm x biết rằng:

a,
x3 = -27

b,
(2x – 1)
3 = 8  

c,
(x – 2)2 = 16

d,
(2x – 3)2 = 9 
   

Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết
: x2 = x5    







  x2= x5=> x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0



     

Bài 3. Tìm số hữu tỉ y biết
: (3y - 1)10 = (3y - 1)20
     (*)









Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x10 = x20

Giải tương tự bài 2 ở trên ta được :


+) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 1/3

+) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 2/3

+) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0

 Vậy y =1/3; 2/3; 0






Bài 4: Tìm x biết : (x -
5)2 = (1 – 3x)2



Bài 5: Tìm n N biết :



          a, 2008n = 1                  c, 32-n. 16n = 1024



          b, 5n + 5n+2 = 650          d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162



 



Bài 6: Tìm hai số tự
nhiên m , n biết : 2m + 2n = 2m+n









Hướng dẫn: 2m+n – 2m – 2n = 0 => 2m.2n -2m -2n + 1 = 1

2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1 => (2m - 1)( 2n - 1) = 1 (*)     

Vì 2m ≥ 1 , 2n ≥ 1           m,n  N

 

Vậy : m = n = 1






Bài 7: Tìm x N biết



          a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103
= ( x +1)2









a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2

(1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2

=> 552 = ( x +1) 2 => x = 54



          

b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2









b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2

 
=> 502 = ( x -2 )2

=> x = 52

(Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)






Bài 8: Tìm 1 cặp  x ; y N
thoả mãn 73 = x2 - y2









Hướng dẫn:

Ta thấy: 73 = x2 - y2

(13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2

(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2

282 - 212 = x2 - y2

Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21





DẠNG 5: MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG.



Vận dụng linh hoạt các công thức, phép
tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số
phương pháp trong tính toán khi biến đổi.



 







Hướng dẫn:

 




Bài 2: Chứng tỏ rằng:







Để chứng minh A (một biểu thức lũy thừa) chia hết cho số k ta cần biến đổi biểu thức A về dạng A = P . k (với P là một số nào đó)

 
Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.

         B = 52008 + 52007 + 52006

         B = 52006 .( 52 + 51 + 1)

     











Để chứng minh A (một biểu thức lũy thừa) chia hết cho số k ta cần biến đổi biểu thức A về dạng A = P . k (với P là một số nào đó)

 Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số:

            M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220

         











 Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135 làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn. 

     H = 3135 . 299 – 3136 . 36

    H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136

    H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136

    H = 3135 . 14 - 35. 3136








Bài 3 . Cho A = 2+ 22
+ 23 +……+ 260 .









Hướng dẫn:

A = 2+ 22 + 23 +……+ 260

= (2+22)+(23+24)+(25+26)+…….+(257+258)+(259+260)

= 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+…….+257.(1+2)+259.(1+2)

= (1+2).(2+23+25+…..+257+259)

= 3.( 2+23+25+…..+257+259)




Tương tự ,ta có :
A = (2+ 22 + 23)+(24+25+26)+……+(258+259+ 260 )

= 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+…….+258.(1+2+22)

= (1+2+22).(2+24+27+…….+258)




A = (2+ 23)+(22+24)+……+(257+259)+(258+ 260 )
A = 2(1+22)+22(1+22)+……+257(1+22)+258(1+22)

= (1+22).(2+22+25+26+…….+257+258)

= 5. (2+22+25+26+…….+257+258






Bài 4: Chứng tỏ rằng :







a, Ta thấy : 13 = 1 + 3 + 32 nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau :

D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) +…….+ (32005 + 32006.+ 32007)

=3.(1 + 3 + 32) +34.(1 + 3 + 32) +…….+ 32005.(1 + 3 + 32)

= 3. 13 + 34. 13 + ……..+ 32005. 13

= (3 + 34 + ……+ 32005). 13











b, Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên :

E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74. (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4. (71 + 72 + 73 + 74)

= (71 + 72 + 73 + 74). (1+74 + 78 + …+74n-4)

= 7.(1 + 71 + 72 + 73 ). (1+74 + 78 + …+74n-4)

= 7.(1 + 7 + 49 + 343 ). (1+74 + 78 + …+74n-4)








      

























































































































































































































































































































































































































































 


0 Comments:

Đăng nhận xét

 
Top