C1 Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

 Khởi động trang 10 Toán 9 Tập 1: Bài toán cổ:

Một đàn em nhỏ đứng bên sông

To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng

Mỗi người năm trái thừa năm trái

Mỗi người sáu trái một người không

Hỡi người bạn trẻ đang dừng bước

Có mấy em thơ, mấy trái hồng?

Làm thế nào để tính được số em nhỏ (em thơ) và số trái hồng?

Lời giải:

Gọi x là số em nhỏ, y là số quả hồng (x, y ∈ ℕ*).

– Câu “Mỗi người năm trái thừa năm trái” nên ta có 5x = y – 5.          (1)

– Câu “Mỗi người sáu trái một người không” nên ta có 6(x – 1) = y.    (2)

Để tính được số em nhỏ (em thơ) và số trái hồng thì ta tìm giá trị x, y thỏa mãn phương trình (1) và phương trình (2).

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Thực hành 1 trang 12 Toán 9 Tập 1: Xác định các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) x + 5y = –4;

b) $\sqrt{3}x+y=0$;

c) $0x-\frac{3}{2}y=6$;

d) 2x + 0y = –1,5.

Lời giải:

a) x + 5y = –4 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 5, c = –4.

b) $\sqrt{3}x+y=0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a=\sqrt{3},b=\mathrm{1,}c=0$.

c) $0x-\frac{3}{2}y=6$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a=\mathrm{0,}b=-\frac{3}{2},c=6$.

d) 2x + 0y = –1,5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = 0, c = –1,5.

Thực hành 2 trang 12 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình 3x + 2y = 4. (1)

a) Trong hai cặp số (1; 2) và (2; –1), cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Tìm y0 để cặp số (4; y0) là nghiệm của phương trình (1).

c) Tìm thêm hai nghiệm của phương trình (1).

d) Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Lời giải:

a) Cặp số (1; 2) không phải là nghiệm của phương trình (1) vì 3 . 1 + 2 . 2 = 3 + 4 = 7 ≠ 4.

Cặp số (2; –1) là nghiệm của phương trình (1) vì 3 . 2 + 2 . (–1) = 6 – 2 = 4.

Vậy trong hai cặp số đã cho, cặp số (2; –1) là nghiệm của phương trình (1).

b) Để cặp số (4; y0) là nghiệm của phương trình (1) thì

3 . 4 + 2y0 = 4 hay 12 + 2y0 = 4 suy ra y0 = –4.

c) Tìm thêm hai nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 0 vào phương trình (1), ta có:

3 . 0 + 2y = 4 hay 2y = 4 suy ra y = 2.

• Thay x = –2 vào phương trình (1), ta có:

3 . (–2) + 2y = 4 hay –6 + 2y = 4 suy ra y = 5.

Vậy hai nghiệm của phương trình (1) khác với các nghiệm trên là (0; 2) và (–2; 5).

d) Viết phương trình 3x + 2y = 4 thành $y=-\frac{3}{2}x+2$.

Khi đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: $y=-\frac{3}{2}x+2$.

Phương trình (1) có nghiệm là (0; 2) và (2; –1) nên đường thẳng d: $y=-\frac{3}{2}x+2$ đi qua hai điểm A(0; 2) và B(2; –1).

Vậy ta có biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy như sau:

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khám phá 2 trang 12 Toán 9 Tập 1: Một ô tô từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy đi từ B về A. Gọi x (km/h) là tốc độ của ô tô, y (km/h) là tốc độ của xe máy (x > 0, y > 0). Biết rằng:

(1) Tốc độ của ô tô hơn tốc độ xe máy 15 km/h;

(2) Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ.

a) Từ dữ kiện (1), hãy lập một phương trình hai ẩn x, y?

b) Từ dữ kiện (2), hãy lập thêm một phương trình hai ẩn x, y?

c) Bạn An khẳng định rằng tốc độ của ô tô và xe máy lần lượt là 60 km/h và 45 km/h. Có thể dùng hai phương trình lập được để kiểm tra khẳng định của bạn An là đúng hay sai không?

Lời giải:

a) Từ dữ kiện (1), ta lập được phương trình là: x – y = 15.          (3)

b) Quãng đường đi được của ô tô sau 2 giờ là: 2x (km)

Quãng đường đi được của xe máy sau 2 giờ là: 2y (km)

Một ô tô từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy đi từ B về A nghĩa là ô tô và xe máy chuyển động ngược chiều nên 2x + 2y = 210 (km).

Vậy từ dữ kiện (2), ta lập được phương trình là: 2x + 2y = 210 hay x + y = 105.      (4)

c) Khi tốc độ của ô tô và xe máy lần lượt là 60 km/h và 45 km/h thì x = 60 km/h và y = 45 km/h.

• Thay x = 60, y = 45 vào phương trình (3), ta có:

x – y = 60 – 45 = 15.

• Thay x = 60, y = 45 vào phương trình (4), ta có:

x + y = 60 + 45 = 105.

Vậy ta có thể dùng hai phương trình lập được để kiểm tra khẳng định của bạn An và ta thấy khẳng định của bạn An là đúng.

Thực hành 3 trang 14 Toán 9 Tập 1: Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\{\begin{array}{c}x+3y=0\\ 4x-3y=-4;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}\sqrt{3}x+0y=-5\\ 0x+\frac{4}{5}y=3;\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}7x+2y=-5\\ 0x+0y=9.\end{array}$

Lời giải:

a) Hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+3y=0\\ 4x-3y=-4\end{array}$ là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 3, c = 0, a' = 4, b' = –3, c' = –4.

b) Hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\sqrt{3}x+0y=-5\\ 0x+\frac{4}{5}y=3\end{array}$ là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với $a=\sqrt{3},$ b = 0, c = –5, a' = 0, $b\text{'}=\frac{4}{5},$ c' = 3.

c) Hệ phương trình $\{\begin{array}{c}7x+2y=-5\\ 0x+0y=9\end{array}$ không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vì a' = b' = 0.

Thực hành 4 trang 14 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+5y=10\\ 2x-y=-13.\end{array}$. Trong hai cặp số (0; 2) và (–5; 3), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

Lời giải:

Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì $\{\begin{array}{c}\left(-5\right)+5\cdot 3=10\\ 2\cdot \left(-5\right)-3=-13.\end{array}$

Cặp số (–5; 3) là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì $\{\begin{array}{c}\left(-5\right)+5\cdot 5=10\\ 2\cdot \left(-5\right)-3=-13.\end{array}$

Vậy trong hai cặp số (0; 2) và (–5; 3), cặp số (–5; 3) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Vận dụng trang 14 Toán 9 Tập 1: Đối với bài toán trong Hoạt động khởi động (trang 10), nếu gọi x là số em nhỏ, y là số quả hồng thì ta nhận được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nào?

Lời giải:

Gọi x là số em nhỏ, y là số quả hồng (x, y ∈ ℕ*).

Câu “Mỗi người năm trái thừa năm trái” nên ta có 5x = y – 5 hay 5x – y = –5.          (1)

Câu “Mỗi người sáu trái một người không” nên ta có 6(x – 1) = y hay 6x – y = 6.    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{array}{c}5x-y=-5\\ 6x-y=6.\end{array}$

Bài tập

Bài 1 trang 14 Toán 9 Tập 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Xác định các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đó.

a) 2x + 5y = –7;

b) 0x – 0y = 5;

c) $0x-\frac{5}{4}y=3$;

d) 0,2x + 0y = –1,5.

Lời giải:

a) 2x + 5y = –7 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = 5, c = –7.

b) 0x – 0y = 5 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = 0 và b = 0.

c) $0x-\frac{5}{4}y=3$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a=\mathrm{0,}b=-\frac{5}{4},c=3$.

d) 0,2x + 0y = –1,5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0,2; b = 0; c = –1,5.

Bài 2 trang 14 Toán 9 Tập 1: Trong các cặp số (1; 1), (–2; 5), (0; 2), cặp số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau?

a) 4x + 3y = 7;

b) 3x – 4y = –1.

Lời giải:

a) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 . 1 + 3 . 1 = 4 + 3 = 7.

Cặp số (–2; 5) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 . (–2) + 3 . 5 = –8 + 15 = 7.

Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 . 0 + 3 . 2 = 6 ≠ 7.

Vậy trong các cặp số đã cho thì có hai cặp số (1; 1) và (–2; 5) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7.

a) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1 vì 3 . 1 – 4 . 1 = 3 – 4 = –1.

Cặp số (–2; 5) không phải là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1 vì 3 . (–2) – 4 . 5 = -6 – 20 = –26 ≠ –1.

Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1 vì 3 . 0 – 4 . 2 = 0 – 8 = –8 ≠ –1.

Vậy trong các cặp số đã cho thì có cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1.

Bài 3 trang 14 Toán 9 Tập 1: Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) 2x + y = 3;

b) 0x – y = 3;

c) –3x + 0y = 2;

d) –2x + y = 0.

Lời giải:

a) Viết lại phương trình thành y = –2x + 3.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = –2x + 3 (như hình vẽ).

b) Viết lại phương trình thành y = –3.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Oy tại điểm M(0; –3).

c) Viết lại phương trình thành $x=-\frac{2}{3}$.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Ox tại điểm $N\left(-\frac{2}{3};0\right)$.

d) Viết lại phương trình thành y = 2x.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 2x

Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và điểm A(1; 2) (như hình vẽ).

Bài 4 trang 14 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}4x-y=2\\ x+3y=7.\end{array}$. Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

a) (2; 2);

b) (1; 2);

c) (–1; –2).

Lời giải:

a) Cặp số (2; 2) không phải là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì $\{\begin{array}{c}4\cdot 2-2=6\left(\ne 2\right)\\ 2+3\cdot 2=8\left(\ne 7\right).\end{array}$

b) Cặp số (1; 2) là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì $\{\begin{array}{c}4\cdot 1-2=2\\ 1+3\cdot 2=7.\end{array}$

c) Cặp số (–1; –2) không phải là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì $\{\begin{array}{c}4\cdot \left(-1\right)-\left(-2\right)=-2\left(\ne 2\right)\\ \left(-1\right)+3\cdot \left(-2\right)=-7\left(\ne 7\right).\end{array}$

Bài 5 trang 14 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường thẳng $y=-\frac{1}{2}x+2$ và y = –2x – 1.

a) Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Xác định tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trên.

c) Tọa độ của điểm A có là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+2y=4\\ 2x+y=-1\end{array}$ không? Tại sao?

Lời giải:

a) Đường thẳng $y=-\frac{1}{2}x+2$ đi qua điểm M(0; 2) và điểm N(2; 1).

Đường thẳng y = –2x – 1 đi qua điểm P(0; –1) và điểm Q(–1; 1).

Ta vẽ hai đường thẳng đó trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy như sau:

b) Giao điểm A của hai đường thẳng $y=-\frac{1}{2}x+2$ và y = –2x – 1 được biểu diễn như sau:

Dóng điểm A lên hai trục Ox và Oy, ta có A(–2; 3).

Vậy tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng $y=-\frac{1}{2}x+2$ và y = –2x – 1 là A(–2; 3).

c) Cặp số (–2; 3) là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì $\{\begin{array}{c}\left(-2\right)+2\cdot 3=4\\ 2\cdot \left(-2\right)+3=-1\end{array}$.

Do đó, tọa độ của điểm A có là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+2y=4\\ 2x+y=-1\end{array}$.