Các tập hợp số phổ biếnTham khảo

Tham khảo

Con người đã biết tới sự tồn tại và gọi tên của những con số từ rất lâu về trước, từ thời công xã nguyên thủy.

Công xã nguyên thủy là thời mà con người còn sống theo bầy đàn trong các hang hốc, hằng ngày chỉ biết săn bắt và hái lượm. Khi đó họ đã biết dùng các con số 1, 2, 3,... để miêu tả số lượng của những vật gì đó mà họ nhìn thấy trong tự nhiên bằng cách đếm, ví dụ như: hôm nay bắt được 5 con gà, hôm nay nhặt được 7 quả dại, hôm nay tìm được 1 cái hang,... Những con số đó là những con số đầu tiên được ra đời.

Và rồi khi dân số trong các tộc người tăng lên, họ săn được bắt nhiều hơn, hái lượm được nhiều hơn, những con số đếm cũng theo đó mà tăng lên. Đó là những con số lớn hơn như 100 con chim, 200 con gà, 1000 quả táo,... Và rồi dần dần những con số đó làm thành tập hợp số đầu tiên trong lịch sử nhân loại - tập hợp số tự nhiên - gọi như vậy là vì những con số này ra đời dựa trên cách đếm của con người để ước lượng các vật trong tự nhiên. Dần dần về sau này, tập hợp đó được các nhà toán học ký hiệu là N - chữ N là viết tắt của "Natural" trong tiếng anh, nghĩa là "tự nhiên". Tập hợp này gồm những con số bình thường mà ta đã được học từ bé, đó là 0, 1, 2, 3, 4, 5,... và người ta viết nó dưới dạng tập hợp của toán học là N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Dĩ nhiên trong tập hợp này có cả số 0 - người nguyên thủy đã biết dùng nó để chỉ sự "không có" hay "không còn", ví dụ hôm nay không săn được con thú nào, hay hôm nay không còn quả táo nào,.... (thật ra số 0 có thể xem là một phát minh vĩ đại của toán học, nếu có dịp ad sẽ đề cập đến vấn đề này trong những bài sau).

Dần dần xã hội lại phát triển thêm một bậc, con người nhận ra rằng chỉ những số tự nhiên thôi thì không đủ để phản ánh những gì mà mình thấy nữa. Khi họ bước vào giai đoạn đá mới, làm ra được của ăn của để, bắt đầu giữa họ có sự tranh chấp lẫn nhau, hay đi sâu hơn là thậm chí đã phân hóa cơ bản về giàu nghèo và có sự cạnh tranh giữa các bộ lạc người. Ví dụ bộ lạc A nuôi 20 con dê, bộ lạc B cũng nuôi 20 con dê; khi hai bộ lạc A và B này đánh nhau, bộ lạc A thắng và ép bộ lạc B phải nộp cho mình 10 con dê, thế là bộ lạc A có thêm được 10 con dê, còn bộ lạc B mất đi 10 con dê. Vậy người ta tự hỏi chỉ với các số tự nhiên thì làm sao đánh giá được bộ lạc B đã mất 10 con dê? Thế là thêm một tập hợp mới đối lại với các số tự nhiên ra đời, đó là tập hợp các số âm! Người ta diễn tả bộ lạc B bị mất đi 10 con dê bằng cách nói bộ lạc đó tăng -10 con dê. Cứ như vậy, các số tự nhiên khác 0 (hay còn gọi là các số dương) thì chỉ sự tăng lên hay có được một số lượng cái gì đó, còn ngược lại khi bị mất đi một số lượng cái gì đó người ta dùng các số âm để biểu diễn (đó cũng là nguồn gốc của phép cộng và phép trừ). Về sau, các nhà toán học thống nhất gọp chung tập hợp số tự nhiên và số âm lại thành một tập hợp mới - đó là Z – tập hợp các số nguyên – chữ Z là viết tắt của “Zahlen” trong tiếng Đức, hiểu nôm na là “số”. Tập hợp số nguyên Z được viết dưới dạng toán học là Z = {…,-3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3,…}. Ta nhận thấy tất cả các số trong tập hợp số tự nhiên N đều thuộc tập hợp số nguyên Z, nghĩa là tập hợp Z chứa cả N trong đó, như vậy ta có thể nói N là tập hợp con của Z.

Số nguyên ra đời dĩ nhiên là thuận tiện hơn cho việc phản ánh về số lượng của con người, nhưng vẫn chưa đủ, có những cái mà số nguyên vẫn không thể biểu diễn được. Ví dụ hôm đó bộ lạc A có 10 người cùng đi săn, bắt được 10 con thú, chia mỗi người 1 con thì không vấn đề gì; nhưng hôm sau họ bắt được đến 15 con thú, vậy thì phải chia mỗi người hơn một con, nhưng chưa tới hai con, vậy con số nào biểu diễn cái số lượng “hơn 1 mà chưa tới 2” đó? Dĩ nhiên ở thời đại của ta thì ai cũng biết 15 con chia cho 10 người thì mỗi người được một con rưỡi, tức là 1.5 con, nhưng thời đó thì con số 1.5 này quả là một bất ngờ! Nó xa lạ với họ, vì nó không hề nằm trong tập hợp số nguyên Z. Vậy là một loại số mới lại được sinh ra để biểu diễn những con số “không nằm trong số nguyên”, đó là số hữu tỷ. Hiểu theo khái niệm hiện đại thì số hữu tỉ là những số có thể viết được dưới dạng phân số a/b, với a và b là các số nguyên và b khác 0. Nói đơn giản số nào có thể viết thành phân số thì đều là số hữu tỉ. Con số 1.5 mà bộ lạc A chia nhau kia là số thập phân, nhưng số thập phân này có thể viết dưới dạng phân số: 1.5 = 15/10 = 3/2, như vậy nó là số hữu tỷ. Mở rộng ra ta thấy mọi số nguyên cũng đều là số hữu tỷ, vì chúng có thể viết được thành các phân số có mẫu là 1, ví dụ: 3 = 3/1, 5 = 5/1, -8 = -8/1,… Riêng số 0 chia cho mọi số đều thành chính nó, nên ta có thể viết số 0 thành vô số phân số: 0 = 0/1 = 0/2 = 0/100 = 0/-20,… tất nhiên là trừ phân số 0/0 vì đây là dạng vô định, các bạn nên nhớ là “Số 0 có thể chia cho mọi số, nhưng không tồn tại số nào có thể chia cho 0” (chỉ có thể tính giới hạn của nó khi tiến về 0 – dạng toán về giới hạn của chương trình giải tích lớp 11). Trở lại vấn đề về số hữu tỷ, các nhà toán học sau này gọi tập hợp các số hữu tỷ là Q – chữ Q trong cụm từ “Quotient” của tiếng Anh nghĩa là số thương (kết quả phép chia). Từ đó ta nhận thấy tập hợp số hữu tỷ Q là vô cùng rộng lớn, nó bao gồm cả tập hợp số nguyên Z (dĩ nhiên trong Z có cả N) và các số thập phân, phân số, hỗn số khác, cả số âm và số dương. Như vậy ta có thể nói tập hợp N là con tập hợp Z, còn tập hợp Z là con tập hợp Q.

Những con số mở rộng tới mức này có lẽ đã là hoàn chỉnh và “đủ dùng” đối với người nguyên thủy. Đến khi hình học Hy Lạp cổ đại phát triển, một loại số hoàn toàn mới dần dần xuất hiện (nhưng có vẻ phải mất rất lâu để các nhà toàn học phát hiện nó) – đó là số vô tỷ. Ai học qua hình học cơ sở chắc đều biết tới một định lý vô cùng nổi tiếng là định lý Py-ta-go (Pythagoras) – do nhà toán học vĩ đại của Hy Lạp cổ là Pythagoras phát minh. Hình học cấp trung học cơ sở phát biểu nó như sau: “Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.” Người cổ đại dùng định lý này trong việc tính toán chiều dài, diện tích của các khu đất hay các thửa ruộng mà họ canh tác. Giả sử có một thửa ruộng hình chữ nhận có chiều dài là 40m, chiều rộng là 30m, người ta dễ dàng tính ra đường chéo của thửa ruộng là 50m bằng định lý Pythargoras. Nhưng rồi sau đó, chính Pythagoras đã phát hiện ra rằng giả sử có một hình vuông cạnh 1m, thì đường chéo của nó sẽ là căn bậc hai của 2 và bằng 1,41421356237309504880168872… việc này với ông có thể nói là thảm họa, bởi con số căn bậc hai của 2 này không phải là một số hữu tỷ, nó là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên không thể viết được dưới dạng phân số. Pythargoras là một “Fan” của số hữu tỷ, việc tồn tại một loại số khác không phải số hữu tỷ làm ông sốc nặng, và để bảo vệ “sự độc tôn của số hữu tỷ” Pythargoras đã giấu nhẹm điều này đi. Phải có đến hàng mấy trăm năm sau giới toán học mới phát hiện ra điều này, và không bảo thủ như Pythargoras, họ chấp nhận loại số mới kia – số thập phân vô hạn không tuần hoàn – vì không thể viết thành phân số, nên nó được gọi với cái tên “vô tỷ” tức là không có tỷ số, đối lập với “hữu tỷ” nghĩa là có tỷ số. (về số thập phân vô hạn không tuần hoàn nếu có dịp ad cũng sẽ nói thêm ở một bài khác

)

Và về sau nữa, rất lâu sau, khi xã hội loài người đã phát triển mạnh rồi, người ta không chỉ dùng những con số như một phương tiện để đếm, mà còn để đo đạc và thiết kế, vậy nên vai trò của số vô tỷ thậm chí có khi còn lấn át cả số hữu tỷ (những con số đo đạc tính toán trong thực tế thường là số vô tỷ được làm tròn). Vậy nên, một lần nữa, các nhà toán học lại nêu ra một tập hợp số mới thật hoàn chỉnh, đó là tập hợp số thực R, bao gồm cả số hữu tỷ và số vô tỷ. Chữ R là viết tắt của “Real” trong tiếng Anh, nghĩa là “sự thật”. Tập hợp số thực cũng là tập hợp số, nghĩa là tất cả các số thật sự tồn tại đều là số thực (để phân biệt với loại số ảo về sau này được đưa ra trong việc giải phương trình bậc 3). Như vậy, tập hợp R là tập hợp số lớn nhất, chứa cả tập hợp Q các số hữu tỷ (trong Q chứa Z và trong Z chứa N) và tập hợp các số vô tỷ (tập hợp các số vô tỷ không có ký hiệu thống nhất cho lắm, chỉ thường được viết là I).

Như vậy, tập hợp số biểu diễn thành trục số của con người có thể nói là đã hoàn thiện, và trong việc tính toán gần 1000 năm tiếp theo, người ta chỉ dùng các số trong phạm vi số thực R là quá đủ.

Ngày nay, ta còn sử dụng tập hợp C các số phức (được học ở cuối lớp 12) gồm cả số thực và số ảo, nhưng vấn đề này tạm thời ad sẽ không bàn nhiều mà sẽ có một bài viết khác về nó.

Và sau cùng, trên hình ảnh mọi người có thể nhìn thấy là giản đồ Venn về tập hợp các số. Từ giản đồ đó ta dễ dàng nhìn thấy mối quan hệ giữa các tập hợp N, Z, Q, R, và có cả C ở ngoài cùng. (giản đồ về tập hợp này là do nhà toán học Venn đưa ra).

Tất cả cảm xúc:

6767