Chủ đề 6. Phân số. Các bài toán về phân số_Dạng 4. Tính bằng cách hợp lí

Lý thuyết

Sử dụng các tính chất của phép cộng, phép nhân phân số:

+) Phép cộng:

+ Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

+ Tính chất kết hợp:

$\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right)$

+ Cộng với số $0$ : $\frac{a}{b}+0=0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$

+) Phép nhân:

+ Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{c}{d}.\frac{a}{b}$

+ Tính chất kết hợp: $\left(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\right).\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}.\frac{p}{q}\right)$

+ Nhân với số $1$: $\frac{a}{b}.1=1.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$, nhân với số $0$: $\frac{a}{b}.0=0$

+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

$\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right)=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}+\frac{a}{b}.\frac{p}{q}$

Chú ý: Thứ tự thực hiện phép tính như đối với số nguyên

Bài tập

Bài 1:

Tính nhanh:

a) $\frac{-2}{7}.\frac{125}{9}:\frac{3}{14}:(-5{)}^2$

 Phương pháp

Áp dụng tính chất giao hoán và phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Lời giải

a)

$\begin{array}{c}\frac{-2}{7}.\frac{125}{9}:\frac{3}{14}:(-5{)}^2\\ =\frac{-2}{7}.\frac{125}{9}.\frac{14}{3}:25\\ =\frac{-2}{7}.\frac{125}{9}.\frac{14}{3}.\frac{1}{25}\\ =\left(\frac{-2}{7}.\frac{14}{3}\right).\left(\frac{125}{9}.\frac{1}{25}\right)\\ =\frac{-4}{3}.\frac{5}{9}\\ =\frac{-20}{27}\end{array}$

b) $\frac{35}{17}+\frac{2}{13}-\left(\frac{-11}{13}+1\frac{1}{17}\right)$

 Phương pháp

Áp dụng tính chất giao hoán và phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Lời giải

b)

$\begin{array}{c}\frac{35}{17}+\frac{2}{13}-\left(\frac{-11}{13}+1\frac{1}{17}\right)\\ =\frac{35}{17}+\frac{2}{13}+\frac{11}{13}-1\frac{1}{17}\\ =\left(\frac{35}{17}-1\frac{1}{17}\right)+\left(\frac{2}{13}+\frac{11}{13}\right)\\ =\left(\frac{35}{17}-\frac{18}{17}\right)+\frac{13}{13}\\ =\frac{17}{17}+\frac{13}{13}\\ =1+1\\ =2\end{array}$

c) $\frac{13}{23}.\frac{37}{32}-\frac{37}{32}.\frac{11}{23}+\frac{2}{23}$

 Phương pháp

Áp dụng tính chất giao hoán và phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Lời giải

c)

$\begin{array}{c}\frac{13}{23}.\frac{37}{32}-\frac{37}{32}.\frac{11}{23}+\frac{2}{23}\\ =\frac{37}{32}.\left(\frac{13}{23}-\frac{11}{23}\right)+\frac{2}{23}\\ =\frac{37}{32}.\frac{2}{23}+\frac{2}{23}\\ =\frac{2}{23}.\left(\frac{37}{32}+1\right)\\ =\frac{2}{23}.\frac{69}{32}\\ =\frac{3}{16}\end{array}$

Bài 2:

Tính bằng cách hợp lí:

a) $A=\left(\frac{-2}{13}+\frac{3}{5}\right):\left(\frac{-4}{13}+1\frac{1}{5}\right)$

Phương pháp

Tìm mối liên hệ giữa các phép tính trong biểu thức

Lời giải

a)

$\begin{array}{c}A=\left(\frac{-2}{13}+\frac{3}{5}\right):\left(\frac{-4}{13}+1\frac{1}{5}\right)\\ =\left(\frac{-2}{13}+\frac{3}{5}\right):\left[2.\left(\frac{-2}{13}+\frac{3}{5}\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\end{array}$

b) $B=\frac{\frac{2}{11}+\frac{2}{13}-\frac{2}{15}-\frac{2}{17}}{\frac{7}{11}+\frac{7}{13}-\frac{7}{15}-\frac{7}{17}}$

Phương pháp

Tìm mối liên hệ giữa các phép tính trong biểu thức

Lời giải

b)

$\begin{array}{c}B=\frac{\frac{2}{11}+\frac{2}{13}-\frac{2}{15}-\frac{2}{17}}{\frac{7}{11}+\frac{7}{13}-\frac{7}{15}-\frac{7}{17}}\\ =\frac{2.\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}-\frac{1}{17}\right)}{7.\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}-\frac{1}{17}\right)}\\ =\frac{2}{7}\end{array}$