Giải chuyên đề 5: Dạng 1: Tính nhanh dãy phân số có quy luật

Loại 1: Dãy phân số có quy luật mẫu số sau gấp mẫu số trước một số không đổi

Phương pháp giải

Giải sử biểu thức cần tìm là A. Các phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu số của phân số trước n lần.

    Bước 1: Tính A x n

    Bước 2: Tính A x n - A

 

Ví dụ 1:

Tính giá trị  A= $\Large{\frac {1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}}$

Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số trước 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.

 

Tính giá trị A= $\Large{\frac {1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}}$
Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số trước 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước. .

Bài giải:
A= $\Large{\frac {1}{2}+\frac{1}4{}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}}$ (1)

    2 x A = 2 x ($\Large{\frac {1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}}$)

    = $\Large{\frac {2}{2}+\frac{2}4{}+\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+\frac{2}{64}}$

    = 1 + $\Large{\frac {1}{2}+\frac{1}4{}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}} $ (2)

Nhìn vào (1) và (2), chúng ta nhận thấy ở A và 2 x A có nhiều phân số giống nhau.
Nếu ta trừ hai vế cho nhau thì được:
    1 x A – a = (1 + $\Large{\frac {1}{2}+\frac{1}4{}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}}$) - $\Large{\frac {1}{2}+\frac{1}4{}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}}$

A = 1- $\Large{\frac{1}{64} = \frac{63}{64}}$

Ví dụ 2: Tính A= $\Large{\frac {1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}}$
Phân tích: Ở bài này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần khi đó ta nhân biểu thức với 3 rồi trừ hai vế để triệt tiêu các phân số ở giữa.

 

Tính A= $\Large{\frac {1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}}$
Phân tích: Ở bài này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần khi đó ta nhân biểu thức với 3 rồi trừ hai vế để triệt tiêu các phân số ở giữa. .

Bài giải:
Ta có A= $\Large{\frac {1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}}$

        3 x A = 1 + $\Large{\frac {1}{3}+\frac{1}{9}}$+$\Large{\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}} $

Trừ hai vế ta có:
    3 x A – A = 1 + $\Large{\frac {1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243} - \frac {1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}}$

    2 x A = 1 - $\Large{\frac{1}{729} = \frac{728}{729}}$

A = $\Large{\frac{728}{729}:2=\frac{364}{279}}$

Ví dụ 3: Tính giá trị  A = $\Large{\frac {2}{3}+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+ \frac{2}{24}+ …..+\frac{2}{768}}$

A = $\Large{\frac {2}{3}+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+ \frac{2}{24}+ …..+\frac{2}{768}}$

Bài giải:
Ta thấy mẫu số của phân số sau gấp 2 lần mẫu số của phân số trước.
Ta có
   2 x A = 2 x ($\Large{\frac {2}{3}+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+ \frac{2}{24}+ …..+\frac{2}{768}}$)

   2 x A = $\Large{\frac {4}{3}$ + $\frac {2}{3}+\frac{2}{6} +\frac{2}{12}+ …..+\frac{2}{384}}$

   2 x A – A = ($\Large{\frac {4}{3} + \frac {2}{3}+\frac{2}{6} +\frac{2}{12}+ …..+\frac{2}{384}}$) - ($\Large{\frac {2}{3}+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+ \frac{2}{24}+ …..+\frac{2}{768}}$)

A = $\Large{\frac{4}{3} – \frac{2}{768} = \frac{511}{384}}$

Loại 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu số phân số liền tr­ước là thừa số thứ nhất của mẫu số phân số liền sau

Phương pháp giải

Tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số. Ta tách như sau:

Ví dụ: 
    $\Large{\frac{1}{2 \times 3}}$ = $\Large{\frac {3 - 2}{2 \times 3}}$ = $\Large{\frac {3}{2 \times 3}}$ - $\Large{\frac {2}{2 \times 3}}$ =  $\Large{\frac {1}{2} - \frac {1}{3}}$

   $\Large{\frac{2}{3 \times 5}}$ = $\Large{\frac {5 - 3}{3 \times 5}}$ = $\Large{\frac {5}{3 \times 5}}$ - $\Large{\frac {3}{3 \times 5}}$ = $\Large{\frac {1}{3}-\frac {1}{5}}$

Ví dụ 1:
      A= $\Large{\frac{1}{2 \times 3}}$ + $\Large{\frac {1}{3 \times 4}}$ + $\Large{\frac {1}{4 \times 5}}$ + $\Large{\frac {1}{5 \times 6}}$

      A = $\Large{\frac{3-2}{2 \times 3}}$ + $\Large{\frac {4-3}{3 \times 4}}$ + $\Large{\frac {5-4}{4 \times 5}}$ + $\Large{\frac {6-5}{5 \times  6}}$

 

= $\Large{\frac{3}{2 \times 3}- \frac{2}{2 \times 3} + \frac{4}{3 \times 4} - \frac{3}{3 \times 4} + \frac{5}{4 \times 5} -\frac{4}{4 \times 5} + \frac{6}{5 \times 6} - \frac{5}{5x6}}$

= $\Large{\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5}\ + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}}$

= $\Large{\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}$

Ví dụ 2:

B = $\Large{\frac {3}{2 \times 5}}$ +$\Large{\frac {3}{5 \times 8}}$ +$\Large{\frac {3}{8 \times 11}}$ +$\Large{\frac {3}{11 \times 14}}$

Bài tập áp dụng

Bài 1 : Tính giá trị A = $\Large{\frac{1}{5}} + \Large{\frac{1}{10}} + \Large{\frac{1}{20}}$ + $\Large{\frac{1}{40}}$ + $\Large{\frac{1}{80}}$ + $\Large{\frac{1}{160}}$ + $\Large{\frac{1}{320}}$

 

Đề bài
Tính giá trị A = $\Large{\frac{1}{5}} + \Large{\frac{1}{10}} + \Large{\frac{1}{20}}$ + $\Large{\frac{1}{40}}$ + $\Large{\frac{1}{80}}$ + $\Large{\frac{1}{160}}$ + $\Large{\frac{1}{320}}$

Phương pháp giải :
   - Tính 2 x A
   - Tính 2 x A - A

Lời giải chi tiết :
    A = $\Large{\frac {1}{5} + \frac {1}{10} + \frac {1}{20} + \frac {1}{40} + \frac {1}{80} + \frac {1}{160} + \frac {1}{320}}$
   2 x A = A = $\Large{\frac {2}{5} + \frac {2}{10} + \frac {2}{20} + \frac {2}{40} + \frac {2}{80} + \frac {2}{160} + \frac {2}{320}}$
   2 x A – A = $\Large{\frac {2}{5} - \frac {1}{320}}$
A = $\Large{\frac {127}{320}}$

Bài 2 : Tính giá trị A = $\Large{\frac{1}{2}} + \Large{\frac{1}{4}} + \Large{\frac{1}{8}}$ + $\Large{\frac{1}{16}}$ + $\Large{\frac{1}{32}}$ +...+ $\Large{\frac{1}{1024}}$   

Đề bài
Tính giá trị A = $\Large{\frac{1}{2}} + \Large{\frac{1}{4}} + \Large{\frac{1}{8}}$ + $\Large{\frac{1}{16}}$ + $\Large{\frac{1}{32}}$ +...+ $\Large{\frac{1}{1024}}$

Phương pháp giải :
   - Tính 2 x A
   - Tính 2 x A - A

Lời giải chi tiết :
    A = $\Large{\frac {1}{2} + \frac {1}{4} + \frac {1}{8} + \frac {1}{16} + \frac {1}{32} + ….+ \frac {1}{1024}}$

    2 x A = A = $\Large{\frac {2}{2} + \frac {2}{4} + \frac {2}{8} + \frac {2}{16} + \frac {2}{32} + ….+ \frac {2}{1024}}$

    2 x A = ( 1 + $\Large{\frac {1}{2} + \frac {1}{4} + \frac {1}{8} + \frac {1}{16} + …. + \frac {1}{512}}$)

- ($\Large{\frac {1}{2} + \frac {1}{4} + \frac {1}{8} + \frac {1}{16} + \frac {1}{32} + ….+ \frac {1}{1024}}$ )

    A = 1 - $\Large{\frac {1}{1024} = \frac {1023}{1024}}$

Bài 3 : 

Tính giá trị C= $\Large{\frac{3}{2}} + \Large{\frac{3}{8}} + \Large{\frac{3}{32}}$ + $\Large{\frac{3}{128}}$ + $\Large{\frac{3}{512}}$  

 

Đề bài
Tính giá trị của C = $\Large{\frac {3}{2} + \frac {3}{8} + \frac {3}{32} + \frac {3}{128} + \frac {3}{512}}$

Phương pháp giải :
   - Tính 4 x C
    - Tính 4 x C - C

Lời giải chi tiết :
C = $\Large{\frac {3}{2} + \frac {3}{8} + \frac {3}{32} + \frac {3}{128} + \frac {3}{512}}$

    4 x C = 4 x ($\Large{\frac {3}{2} + \frac {3}{8} + \frac {3}{32} + \frac {3}{128} + \frac {3}{512}}$)

    4 x C = 6 + $\Large{\frac {3}{2} + \frac {3}{8} + \frac {3}{32} + \frac {3}{128}}$

    4 x C – C = (6 + $\Large{\frac {3}{2} + \frac {3}{8} + \frac {3}{32} + \frac {3}{128}}$)

- ($\Large{\frac {3}{2} + \frac {3}{8} + \frac {3}{32} + \frac {3}{128} + \frac {3}{512}}$)

3 x C = $\Large{\frac {3069}{512} : 3 = \frac {1023}{512}}$

Bài 4 : Tính giá trị của   D = $\Large{\frac {5}{2}}$ + $\Large{\frac{5}{6}}$ + $\Large{\frac{5}{18}}$ + $\Large{\frac{5}{54}}$ + $\Large{\frac{5}{162}}$  + $\Large{\frac{5}{468}}$   

 

Đề bài
Tính giá trị của D = $\Large{\frac {5}{2} + \frac {5}{6} + \frac {5}{18} + \frac {5}{54} + \frac {5}{162} + \frac {5}{468}}$

Phương pháp giải :
    - Tính 3 x D
    - Tính 3 x D - D

Lời giải chi tiết :
    D = $\Large{\frac {5}{2} + \frac {5}{6} + \frac {5}{18} + \frac {5}{54} + \frac {5}{162} + \frac {5}{468}}$

    3 x D = 3 x ($\Large{\frac {5}{2} + \frac {5}{6} + \frac {5}{18} + \frac {5}{54} + \frac {5}{162} + \frac {5}{468}}$)

    3 x D = $\Large{\frac {15}{2} + \frac {5}{2} + \frac {5}{6} + \frac {5}{18} + \frac {5}{54} + \frac {5}{162}}$

    3 x D – D = $\Large{\frac {15}{2} - \frac {5}{468}}$

    2 x D = $\Large{\frac {1820}{243}}$

D = $\Large{\frac {1820}{243}: 2 = \frac {91++0}{243}}$

Bài 5 : Tính nhanh B = $\Large{\frac{4}{3 \times 7}}$  + $\Large{\frac{4}{7 \times 11}}$ + $\Large{\frac{4}{11 \times 15}}$ + $\Large{\frac{4}{15 \times 19}}$ + $\Large{\frac{4}{19 \times 23}}$ + $\Large{\frac{4}{23 \times 27}}$

 

Đề bài
Tính nhanh B = $\Large{\frac{4}{3 x 7} + \frac{4}{7 x 11} + \frac{4}{11 x 15} + \frac{4}{15 x 19} + \frac{4}{19 x 23} + \frac{4}{23 x 37}}$

Phương pháp giải :
    B = $\Large{\frac{4}{3 x 7} + \frac{4}{7 x 11} + \frac{4}{11 x 15} + \frac{4}{15x19} + \frac{4}{19 x 23} + \frac{4}{23 x 37}}$

   B = $\Large{\frac{1}{3} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{15} + \frac{1}{15} - \frac{1}{19} + \frac{1}{19} - \frac{1}{23} + $\frac{1}{23} - \frac{1}{27}}$

    B = $\Large{\frac{1}{3} - \frac{1}{27} = \frac{8}{27}}$

Bài 6 : Tính nhanh C=  $\Large{\frac{4}{3 \times 6}}$  + $\Large{\frac{4}{6 \times 9}}$ + $\Large{\frac{4}{9 \times 12}}$ + $\Large{\frac{4}{12 \times 15}}$   

 

Đề bài
Tính nhanh C = $\Large{\frac{4}{3 \times 6} + \frac{4}{6 \times 9} + \frac{4}{9 \times 12} + \frac{4}{12 \times 15}}$
Phương pháp giải :
Đưa về bài toán dãy phân số có tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số.

Lời giải chi tiết :
    C = $\Large{\frac{4}{3 \times 6} + \frac{4}{6 \times 9} + \frac{4}{9 \times 12} + \frac{4}{12 \times 15}}$

    C = 4 \times ($\Large{\frac{1}{3 \times 6} + \frac{1}{6 \times 9} + \frac{1}{9 \times 12} + \frac{1}{12 \times 15}}$)

    C = $\Large{\frac{4}{3} \times (\frac{3}{3 \times 6} + \frac{3}{6 \times 9} + \frac{3}{9 \times 12} + \frac{3}{12 \times 15}}$)

    C = $\Large{\frac{4}{3} \times (\frac{6-3}{3 \times 6} + \frac{9-6}{6 \times 9} + \frac{12-9}{9 \times 12} + \frac{15-12}{12 \times 15}}$)

    C = $\Large{\frac{4}{3} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} - \frac{1}{15}}$)

   C = $\Large{\frac{4}{3} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{15}) = \frac{4}{3} \times \frac{1}{15} = \frac{16}{45}}$

Bài 7 : Tính nhanh D=  $\Large{\frac{7}{1 \times 5}}$  + $\Large{\frac{7}{5 \times 9}}$ + $\Large{\frac{7}{9 \times 13}}$ + $\Large{\frac{7}{17 \times 21}}$   

    Đề bài
Tính D = $$\Large{\frac{7}{1 \times 5} + \frac{7}{5 \times 9} + \frac{7}{9 \times 13} + \frac{7}{17 \times 21}}$
Phương pháp giải :
Đưa về bài toán tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số.

Lời giải chi tiết :
    D = $\Large{\frac{7}{1 \times 5} + \frac{7}{5 \times 9} + \frac{7}{9 \times 13} + \frac{7}{17 \times 21}}$

    D = $\Large{\frac{7}{1 \times 5} + \frac{7}{5 \times 9} + \frac{7}{9 \times 13} + \frac{7}{17 \times 21}}$

   D = 7 x ($\Large{\frac{1}{1 \times 5} + \frac{1}{5 \times 9} + \frac{1}{9 \times 13} + \frac{1}{17 \times 21}}$)

    D = $\Large{\frac{7}{4} \times (\frac{4}{1 \times 5} + \frac{4}{5 \times 9} + \frac{4}{9 \times 13} + \frac{4}{17 \times 21}}$)

    D = $\Large{\frac{7}{4} \times ( 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} -\frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{17} + \frac{1}{17} - \frac{1}{21}}$)

    D = $\Large{\frac{7}{4} \times ( 1 - \frac{1}{21}) = \frac{7}{4} \times \frac{20}{21} = \frac{5}{3}}$

Bài 8: Tính nhanh E =  $\Large{\frac{1}{2}}$  + $\Large{\frac{1}{6}}$ + $\Large{\frac{1}{12}}$ + $\Large{\frac{1}{20}}$ + $\Large{\frac{1}{30}}$  + $\Large{\frac{1}{42}}$ + .... + $\Large{\frac{1}{110}}$

Đề bài
Tính nhanh E = $\Large{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + …….. + \frac{1}{110}}$

Phương pháp giải :
Đưa về bài toán tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số.

Lời giải chi tiết :
    E = $\Large{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + …….. + \frac{1}{110}}$

    E = $\Large{\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + …….+ \frac{1}{100 \times 101}}$

    E = 1 - $\Large{\frac{1}{101} = \frac{100}{101}}$

Bài 20