tR

Cho phân số $\Large{\frac{56}{81}}$=. Hỏi cùng thêm vào tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số bằng $\Large{\frac{3}{4}}$. 

Cho phân số  $\Large{\frac{23}{45}}$. Hỏi phải cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên nào để được phân số mới có giá trị bằng  $\Large{\frac{19}{15}}$

Phương pháp giải

- Nếu ta cộng thêm (hoặc trừ đi) cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.

- Nếu cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đi ở mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số không thay đổi.

- Nếu ta bớt đi ở tử số đồng thời thêm vào mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số không thay đổi.
 
Ví dụ 1: Cho phân số . Hỏi cùng thêm vào tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số bằng $\Large{\frac{3}{4}}$
 
Giải
Hiệu của mẫu số và tử số của phân số đã cho là 81 – 56 = 25
Khi ta thêm vào tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu của mẫu số và tử số vẫn không đổi.
Tử số của phân số mới là 25 : (4 – 3) x 3 = 75
Số cần tìm là: 75 – 56 = 19
Đáp số: 19

Ví dụ 2: Cho phân số  $\Large{\frac{23}{45}}$. Hỏi phải cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên nào để được phân số mới có giá trị bằng  $\Large{\frac{19}{15}}$
 
Ví dụ 2:
Cho phân số $\Large{\frac{23}{45}}$ . Hỏi phải cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên nào để được phân số mới có giá trị bằng $\Large{\frac{19}{15}}$

Giải :

    Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là 23 + 45 = 68
    Khi ta cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên thì tổng của mẫu số và tử số vẫn không đổi và bằng 68.
    Gọi số cần tìm là a. Ta có

$\Large{\frac{23+a}{45-a} }$ = $\Large{\frac{19}{15}}$

    Tổng số phần bằng nhau: 19 + 15 = 34 (phần)
    Tử số của phân số mới là: 68 : 34 x 19 = 38
    Ta có 23 + a = 38
   Đáp số: 15

Ví dụ 3: Cho phân số $\Large{\frac{26}{45}}$ . Hãy tìm số tự nhiên c sao cho đem mẫu số của phân số đã cho trừ đi c và giữ nguyên tử số ta được phân số mới có giá trị bằng $\Large{\frac{5}{6}}$ 
 
Giải:
   Vì tử số giữ nguyên nên ta có:

    $\Large{\frac{25}{37-c}}$ = $\Large{\frac{5}{6}}$= $\Large{\frac{25}{30}}$

   Hai phân số bằng nhau lại có tử số bằng nhau nên mẫu số của chúng cũng phải bằng nhau.
   Tức là 37 – c = 30. Vậy c = 7.
Đáp số: c = 7

Ví dụ 4: Cho phân số $\Large{\frac{26}{45}}$. Hãy tìm số tự nhiên c sao cho thêm c vào tử số và giữ nguyên mẫu số, ta được phân số mới có giá trị bằng $\Large{\frac{2}{3}}$ 
 
Giải:
Theo đề bài, ta có:
    $\Large{\frac{26+c}{45}}$ = $\Large{\frac{2}{3}}$ hay $\Large{\frac{26}{45}}$ + $\Large{\frac{c}{45}}$ = $\Large{\frac{2}{3}}$

    Từ đó ta có:

    $\Large{\frac{c}{45}}$ = $\Large{\frac{2}{3}}$ - $\Large{\frac{26}{45}}$ = $\Large{\frac{4}{45}}$

    Vậy c = 4
Đáp số: c = 4

Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho phân số $\Large{\frac{3}{7}}$. Cộng thêm vào cả tử số và mẫu số cùa phân số đó với cùng một số tự nhiên ta được một phân số bằng $\Large{\frac{7}{9}}$.
. Tìm số tự nhiên đó. 

Bài 1 : Cho phân số $\Large{\frac{3}{7}}$. Cộng thêm vào cả tử số và mẫu số cùa phân số đó với cùng một số tự nhiên ta được một phân số bằng $\Large{\frac{7}{9}}$.
. Tìm số tự nhiên đó.

Phương pháp giải :
   - Tìm hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho
   - Khi ta cộng thêm vào tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi.
   - Giải bài toán hiệu - tỉ để tìm tử số của phân số mới
   - Tìm số công thêm

Lời giải chi tiết :
   Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số  là:
                          7 – 3 = 4
   Khi ta cộng thêm vào tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi.
   Ta có sơ đồ biểu diễn tử số và mẫu số của phân số mới:
   Tử số của phân số mới là 4 : (9 – 7) x 7 = 14
   Số cộng thêm vào là: 14 – 3 = 11
   Đáp số: 11

Bài 2 : Khi bớt cả tử số và mẫu số của phân số $\Large{\frac{71}{41}}$ đi cùng một số tự nhiên ta nhận được một phân số bằng $\Large{\frac{5}{2}}$. Tìm số tự nhiên đó.
 
Bài 2 : Khi bớt cả tử số và mẫu số của phân số $\Large{\frac{71}{41}}$ đi cùng một số tự nhiên ta nhận được một phân số bằng $\Large{\frac{5}{2}}$. Tìm số tự nhiên đó.

Phương pháp giải :
   - Tìm hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho
   - Giải bài toán hiệu - tỉ để tìm tử số (hoặc mẫu số) của phân số mới
   - Tìm số đã bớt

Lời giải chi tiết :
   Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho là:
                             71 – 41 = 30
   Ta có sơ đồ biểu diễn tử số và mẫu số của phân số mới:
   Mẫu số của phân số mới là:
        30 : (5 – 2) x 2 = 20
   Số tự nhiên cần tìm là:
        41 – 20 = 21
             Đáp số: 21

Bài 3 : Cho phân số $\Large{\frac{7}{8}}$. Hãy tìm số a sao cho đem tử số của phân số đã cho trừ đi a và thêm a vào mẫu số ta được một phân số mới bằng $\Large{\frac{1}{4}}$.
 
Bài 3 : Cho phân số $\Large{\frac{7}{8}}$. Hãy tìm số a sao cho đem tử số của phân số đã cho trừ đi a và thêm a vào mẫu số ta được một phân số mới bằng $\Large{\frac{1}{4}}$.

Phương pháp giải :
   - Tìm tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho 
   - Khi bớt a ở tử số và thêm a vào mẫu số thì tổng của tử số và mẫu số không thay đổi.
   - Giải bài toán tổng - tỉ để tìm tử số cùa phân số mới

  Lời giải chi tiết :
   Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là: 7 + 8 = 15.
   Khi bớt a ở tử số và thêm a vào mẫu số thì tổng của tử số và mẫu số không thay đổi.
   Tổng của tử số và mẫu số của phân số mới vẫn là 15.
   Ta có:
    $\Large{\frac{7-a}{8+a}}$ = $\Large{\frac{1}{4}}$
   Tử số của phân số mới là 15 : (1 + 4) = 3
   Hay 7 – a = 3. Vậy số a cần tìm là 4
                                Đáp số: a = 4

Bài 4 : Cho phân số $\Large{\frac{a}{b}}$. Rút gọn phân số $\Large{\frac{a}{b}}$ ta được phân số $\Large{\frac{2}{5}}$. Nếu thêm vào tử số 45 đơn vị thì ta được phân số mới có giá trị bằng $\Large{\frac{13}{20}}$. Tìm phân số $\Large{\frac{a}{b}}$
 
Bài 4 : Cho phân số $\Large{\frac{a}{b}}$. Rút gọn phân số $\Large{\frac{a}{b}}$ ta được phân số $\Large{\frac{2}{5}}$. Nếu thêm vào tử số 45 đơn vị thì ta được phân số mới có giá trị bằng $\Large{\frac{13}{20}}$. Tìm phân số $\Large{\frac{a}{b}}$

Lời giải chi tiết :
Cách 1:
Theo đề bài ta có
    $\Large{\frac{a}{b}}$ = $\Large{\frac{2}{5}}$ và $\Large{\frac{a+45}{b}}$ = $\Large{\frac{13}{20}}$
    Hay $\Large{\frac{a}{b}}$ + $\Large{\frac{a+45}{b}}$ = $\Large{\frac{13}{20}}$ (*)
   Thay phân số $\Large{\frac{a}{b}}$ = $\Large{\frac{2}{5}}$ vào (*)
   ta có:
   $\Large{\frac{2}{5}}$ + $\Large{\frac{45}{b}}$ = $\Large{\frac{13}{20}}$
    $\Large{\frac{45}{b}}$ = $\Large{\frac{13}{20}}$ - $\Large{\frac{2}{5}}$ = $\Large{\frac{5}{20}}$ = $\Large{\frac{45}{180}}$
    Vậy b = 180.

Cách 2:
   Quy đồng hai phân số $\Large{\frac{2}{5}}$ và $\Large{\frac{13}{20}}$ ta được phân số $\Large{\frac{8}{20}}$ và $\Large{\frac{13}{20}}$
    Hiệu của hai tử số là 13 – 8 = 5
   Giá trị một phần là: 45 : 5 = 9
   Tử số cần tìm là :  8 x 9 = 72
   Mẫu số cần tìm là : 20 x 9 = 180

Bài 5 : Cho phân số $\Large{\frac{73}{97}}$. Hỏi cùng phải bớt ở tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số mới có giá trị bằng $\Large{\frac{2}{3}}$
 
Bài 5 : Cho phân số $\Large{\frac{73}{97}}$. Hỏi cùng phải bớt ở tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số mới có giá trị bằng $\Large{\frac{2}{3}}$

Phương pháp giải :
   - Tìm hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số ban đầu
   - Giải bài toán hiệu - tỉ để tìm tử số của phân số mới
   - Tìm số đã bớt

Lời giải chi tiết :
   Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho là:
                           97 – 73 = 24
   Ta có sơ đồ biểu diễn tử số và mẫu số của phân số mới:
   Tử số của phân số mới là:
        24 : (3 – 2) x 2 = 48
   Số tự nhiên cần tìm là:
        73 – 48 = 25
          Đáp số: 25

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 
Bài 1 : Hãy chứng tỏ rằng các phân số sau bằng nhau:

a) $\Large{\frac{123}{127}}$ = $\Large{\frac{123123}{127127}}$

b) $\Large{\frac{13}{15}}$ = $\Large{\frac{1313}{1515}}$ =  $\Large{\frac{131313}{151515}}$
 
Phương pháp giải :
Chia cả tử mẫu mẫy của phân số thứ nhất cho cùng một số ta được phân số thứ hai.

Lời giải chi tiết :

   a) $\Large{\frac{123123}{127127}}$ = $\Large{\frac{123 \times 1001}{127 \times 1001}}$ = $\Large{\frac{123}{127}}$

   b) $\Large{\frac{1313}{1515}}$ = $\Large{\frac{13 \times 101}{15 \times 101}}$ = $\Large{\frac{13}{15}}$

   $\Large{\frac{131313}{151515}}$ = $\Large{\frac{13 \times 10 101}{15 \times 10 101}}$ = $\Large{\frac{13}{15}}$

   Vậy $\Large{\frac{13}{15}}$ = $\Large{\frac{1313}{1515}}$ = $\Large{\frac{131313}{151515}}$

Bài 2 : Tính nhanh:
a) $\Large{\frac{2006 \times 2005 -1}{2004 \times 2006 + 2005}}$

b) $\Large{\frac{1999 \times 2001-1}{1998 + 1999 \times 2000}}$ \times $\Large{\frac{7}{5}}$

c) $\Large{\frac{1313}{2121}}$ \times $\Large{\frac{165165}{143143}}$ \times $\Large{\frac{424242}{151515}}$

d) $\Large{\frac{1995 \times 1993 - 18}{1975 + 1993 \times 1994}}$
 
Phương pháp giải :
   - Tách 1 thừa số ở tử số thành tổng của 1 với một số.
   - Sử dụng tính chất nhân một số với một tổng
   - Biến đổi và rút gọn phân số

Lời giải chi tiết :

a) $\Large{\frac{2006 \times 2005 -1}{2004 \times 2006 + 2005}}$ = $\Large{\frac{2006 x (2004 + 1) -1}{2004 x 2006 + 2005}}$

    = $\Large{\frac{2006 \times 2004 + 2006 -1}{2004 \times 2006 + 2005}}$

    = $\Large{\frac{2006 \times 2004 + 2005}{2004 \times 2006 + 2005}}$ = 1

b) $\Large{\frac{1999 x 2001-1}{1998 + 1999 x 2000}}$ x $\Large{\frac{7}{5}}$

    = $\Large{\frac{1999 x (2000 + 1) - 1}{1998 + 1999 x 2000}}$ x $\Large{\frac{7}{5}}$

    = $\Large{\frac{1999 x 2000 + 1999 - 1}{1998 + 1999 x 2000}}$ x $\Large{\frac{7}{5}}$

    = $\Large{\frac{1999 x 2000 + 1998}{1998 + 1999 x 2000}}$ x $\Large{\frac{7}{5}}$

    = 1 x $\Large{\frac{7}{5}}$ = $\Large{\frac{7}{5}}$

c) $\Large{\frac{1313}{2121}}$ x $\Large{\frac{165165}{143143}}$ x $\Large{\frac{424242}{151515}}$

    = $\Large{\frac{13 }{21 }}$ x $\Large{\frac{165 }{13 x 11 }}$ x $\Large{\frac{42 }{15 }}$

    = $\Large{\frac{13 }{21 }}$ x $\Large{\frac{15 x 11 }{143 }}$ x $\Large{\frac{21 x 2 }{15 }}$ = 2

d) $\Large{\frac{1995 x 1993 - 18}{1975 + 1993 x 1994}}$

    = $\Large{\frac{(1994 + 1) x 1993 - 18}{1975 + 1993 x 1994}}$

    = $\Large{\frac{1994 + 1993 + 1993 - 18}{1975 + 1993 x 1994}}$

    = $\Large{\frac{1994 + 1993 + 1975}{1975 + 1993 x 1994}}$ = 1


Bài 4 : Tính nhanh:
a) A = $\Large{\frac{6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11}{22 \times 20 \times 18 \times 16 \times 14 \times 12}}$

b) (1 - $\Large{\frac{1}{2}}$) x (1 - $\Large{\frac{1}{3}}$) x (1 - $\Large{\frac{1}{4}}$) x (1 - $\Large{\frac{1}{5}}$) x(1 - $\Large{\frac{1}{5}}$)
 
Phương pháp giải :
a) Tách mẫu số thành tích của các thừa số thích hợp rồi rút gọn phân số
b) Tính các phép tính trong ngoặc rồi rút gọn phân số.
Lời giải chi tiết :

a) A = $\Large{\frac{6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11}{22 \times 20 \times 18 \times 16 \times 14 \times 12}}$

  = $\Large{\frac{6\times 7\times 8\times 9\times 10\times 11}{11\times 2 \times 10 \times 2 \times 9 \times 2 \times 8 \times 2 \times 7 \times 2 \times 6 \times 2}}$

  = $\Large{\frac{1}{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2}}$

  = $\Large{\frac{1}{64}}$

b) (1 - $\Large{\frac{1}{2}}$) x (1 - $\Large{\frac{1}{3}}$) x (1 - $\Large{\frac{1}{4}}$) x (1 - $\Large{\frac{1}{5}}$) x(1 - $\Large{\frac{1}{5}}$)

  = $\Large{\frac{1}{2}}$ x $\Large{\frac{2}{3}}$ x $\Large{\frac{3}{4}}$ x $\Large{\frac{4}{5}}$ x $\Large{\frac{5}{6}}$

  = $\Large{\frac{1}{6}}$

Bài 4 : Tính:
  a) A = $\Large{\frac{1}{20}}$ + $\Large{\frac{1}{30}}$ + $\Large{\frac{1}{42}}$ + $\Large{\frac{1}{56}}$ + $\Large{\frac{1}{72}}$+ $\Large{\frac{1}{90}}$

  b) B = $\Large{\frac{3}{1 \times 3}}$  + $\Large{\frac{3}{1 \times 3}}$  + $\Large{\frac{3}{1 \times 3}}$  + $\Large{\frac{3}{3 \times 5}}$  + $\Large{\frac{3}{5 \times 7}}$  + ......+ $\Large{\frac{3}{99 \times 101}}$  
 
Phương pháp giải :
Đưa về loại toán dãy phân số có tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số.

Lời giải chi tiết :
a) A = $\Large{\frac{1}{20}}$ + $\Large{\frac{1}{30}}$ + $\Large{\frac{1}{42}}$ + $\Large{\frac{1}{56}}$ + $\Large{\frac{1}{72}}$+ $\Large{\frac{1}{90}}$

  = $\Large{\frac{1}{4\times 5}}$ + $\Large{\frac{1}{5\times6}}$ + $\Large{\frac{1}{6\times7}}$ + $\Large{\frac{1}{7\times8}}$ + $\Large{\frac{1}{8\times9}}$+ $\Large{\frac{1}{9\times10}}$

  = $\Large{\frac{1}{4 }}$ - $\Large{\frac{1}{ 10}}$ = $\Large{\frac{3}{20}}$

b) B = $\Large{\frac{3}{1 \times 3}}$  + $\Large{\frac{3}{1 \times 3}}$  + $\Large{\frac{3}{1 \times 3}}$  + $\Large{\frac{3}{3 \times 5}}$  + $\Large{\frac{3}{5 \times 7}}$  + ......+ $\Large{\frac{3}{99 \times 101}}$  

  = $\Large{\frac{3}{2 }}$ x ($\Large{\frac{2}{1 \times 3}}$  + $\Large{\frac{2}{3 \times 5}}$ + $\Large{\frac{2}{5 \times 7}}$ + .... + $\Large{\frac{2}{99 \times 101}}$

  = $\Large{\frac{3}{2 }}$ x (1 - $\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{1}{3}}$ - $\Large{\frac{1}{5}}$ + $\Large{\frac{1}{5}}$ - $\Large{\frac{1}{7}}$ + .......+ $\Large{\frac{1}{99}}$ - $\Large{\frac{1}{101}}$

  = $\Large{\frac{3}{2 }}$ x (1 - $\Large{\frac{1}{101}}$)

  = $\Large{\frac{3}{2 }}$ x $\Large{\frac{100}{101}}$ = $\Large{\frac{150}{101}}$

Bài 5 : Tính M = 1$\Large{\frac{3}{34}}$ x 10$\Large{\frac{1}{12}}$ x $\Large{\frac{8}{9}}$ x 2$\Large{\frac{1}{8}}$ x $\Large{\frac{3}{13}}$ x $\Large{\frac{26}{37}}$ x 1$\Large{\frac{1}{19}}$ x $\Large{\frac{3}{4}}$ 
 
Phương pháp giải :
- Chuyển hỗn số thành phân số
- Rút gọn cả tử số và mẫu số cho các thừa số chung

Lời giải chi tiết :
M = 1$\Large{\frac{3}{34}}$ x 10$\Large{\frac{1}{12}}$ x $\Large{\frac{8}{9}}$ x 2$\Large{\frac{1}{8}}$ x $\Large{\frac{3}{13}}$ x $\Large{\frac{26}{37}}$ x 1$\Large{\frac{1}{19}}$ x $\Large{\frac{3}{4}}$

  = $\Large{\frac{37}{34}}$ x $\Large{\frac{121}{12}}$ x $\Large{\frac{8}{9}}$ x $\Large{\frac{3}{8}}$ x $\Large{\frac{3}{13}}$ x $\Large{\frac{26}{37}}$ x $\Large{\frac{20}{19}}$ x $\Large{\frac{3}{4}}$

  = $\Large{\frac{37 \times 11 \times 11 \times 8 \times 17 \times 3 \times 13 \times 2 \times 5 \times 4 \times 3}{7 \times 2 \times 4 \times 3 \times 9 \times 8 \times 13 \times 37 \times 11 \times 4}}$

  = $\Large{\frac{11 \times 5}{3}}$ = $\Large{\frac{55}{3}}$

Bài 6 : (Cầu Giấy 2013 – 2014)
Tính  A = ($\Large{\frac{3}{10}+ \frac{4}{5} \times \frac{1}{2}}$) : (2$\Large{\frac{8}{9}}$ - 1$\Large{\frac{1}{3}}$) + 2013
 
Phương pháp giải :

- Chuyển hỗn số thành phân số
- Thực hiện tính trong ngoặc trước

Lời giải chi tiết :

A = ($\Large{\frac{3}{10}+ \frac{4}{5} \times \frac{1}{2}}$) : (2$\Large{\frac{8}{9}}$ - 1$\Large{\frac{1}{3}}$) + 2013

= ($\Large{\frac{3}{10}+ \frac{4}{10}}$):($\Large{\frac{26}{9} - \frac{4}{3}}$)+ 2013

= $\Large{\frac{7}{10} : \frac{14}{9}}$+ 2013

= $\Large{\frac{9}{20}}$+ 2013 = 2013$\Large{\frac{9}{20}}$


Bài 7 : (LTV 2014 – 2015)
Tính giá trị của biểu thức  A = 17 ×($\Large{\frac{1313}{5151}+ \frac{111}{3434} }$): $\Large{\frac{177}{12}}$

Phương pháp giải :
Rút gọn các phân số trong ngoặc rồi tính giá trị biểu thức.
Lời giải chi tiết :

A = 17 x ($\Large{\frac{1313}{5151}+ \frac{111}{3434} }$): $\Large{\frac{177}{12}}$

  = 17 x ($\Large{\frac{13}{51}+ \frac{11}{34} }$)x $\Large{\frac{12}{177}}$

  =(17 x ($\Large{\frac{13}{51}+  17  \times \frac{11}{34} }$)x $\Large{\frac{12}{177}}$)

  =($\Large{\frac{13}{3}+\frac{11}{2}}$)x $\Large{\frac{12}{177}}$)

  =$\Large{\frac{59}{6}}$x $\Large{\frac{12}{177}}$)

  =$\Large{\frac{59\times 6\times 2}{6\times 59\times 3}}$ = $\Large{\frac{2}{3}}$)


Bài 8 : (ASM 2011 – 2012)
Tìm x sao cho: (x + $\Large{\frac{1}{1 \times 3}}$) + (x + $\Large{\frac{1}{3 \times 5}}$) + (x + $\Large{\frac{1}{5 \times 7}}$) ....+ (x + $\Large{\frac{1}{1 \times 3}}$)
= 11 $\times$ x + ($\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{1}{9}}$ + $\Large{\frac{1}{27}}$+ $\Large{\frac{1}{81}}$ + $\Large{\frac{1}{243}}$)
 
Phương pháp giải :
Áp dụng phương pháp giải bài toán dãy phân số có quy luật.
Lời giải chi tiết :

(x + $\Large{\frac{1}{1 \times 3}}$) + (x + $\Large{\frac{1}{3 \times 5}}$) + (x + $\Large{\frac{1}{5 \times 7}}$) ....+ (x + $\Large{\frac{1}{1 \times 3}}$) = 11 $\times$ x + ($\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{1}{9}}$ + $\Large{\frac{1}{27}}$+ $\Large{\frac{1}{81}}$ + $\Large{\frac{1}{243}}$)

12 $\times $ x + ($\Large{\frac{1}{1 \times 3}}$ + $\Large{\frac{1}{3 \times 5}}$ + $\Large{\frac{1}{5 \times 7}}$ + .....+ $\Large{\frac{1}{23 \times 25}}$) = 11 $\times $ x ($\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{1}{9}}$ + $\Large{\frac{1}{27}}$+ $\Large{\frac{1}{81}}$ + $\Large{\frac{1}{243}}$)

x + ($\Large{\frac{1}{1 \times 3}}$ + $\Large{\frac{1}{3 \times 5}}$ + $\Large{\frac{1}{5 \times 7}}$ .... + $\Large{\frac{1}{23 \times 25}}$) = ($\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{1}{9}}$ + $\Large{\frac{1}{27}}$+ $\Large{\frac{1}{81}}$ + $\Large{\frac{1}{243}}$)    (1)

Ta có:
A = $\Large{\frac{1}{1 \times 3}}$ + $\Large{\frac{1}{3 \times 5}}$ + $\Large{\frac{1}{5 \times 7}}$ + .....+ $\Large{\frac{1}{23 \times 25}}$

= $\Large{\frac{1}{2}}$ x ($\Large{\frac{2}{1 \times 3}}$ + $\Large{\frac{2}{3 \times 5}}$ + $\Large{\frac{2}{5 \times 7}}$ + .....+ $\Large{\frac{2}{23 \times 25}}$)

= $\Large{\frac{1}{2}}$ x $\Large{\frac{24}{25}}$ = $\Large{\frac{12}{25}}$

Đặt B = $\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{1}{9}}$ + $\Large{\frac{1}{27}}$+ $\Large{\frac{1}{81}}$ + $\Large{\frac{1}{243}}$

3 x B - B = (1 + $\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{1}{9}}$ + $\Large{\frac{1}{27}}$+ $\Large{\frac{1}{81}}$) - ($\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{1}{9}}$ + $\Large{\frac{1}{27}}$+ $\Large{\frac{1}{81}}$ + $\Large{\frac{1}{243}}$)

2 x B = 1 - $\Large{\frac{1}{243}}$ = $\Large{\frac{242}{243}}$

B = $\Large{\frac{242}{243}}$ : 2 = $\Large{\frac{121}{243}}$

Thay giá trị của A và B vào (1) ta được:

x + $\Large{\frac{12}{25}}$ = $\Large{\frac{121}{243}}$

x = $\Large{\frac{109}{6075}}$

Bài 9 : (NTT 2019 – 2020)
Một đội tự nguyện trường Nguyễn Tất thành đi trồng cây ở tỉnh Hà Giang trong 3 ngày. Ngày 1, đội trồng $\Large{\frac{1}{3}}$  số cây. Ngày 2, đội trồng $\Large{\frac{6}{11}}$ số cây còn lại. Ngày 3, trồng ít hơn ngày 2 là 30 cây. Tính số cây mà mỗi đội đã trồng được.
 
Phương pháp giải :
  - Tìm phân số ứng với số cây tròng được trong ngày thứ nhất, ngày thứ hai, ngày thứ ba
  - Tìm phân số ứng với 30 cây
  - Tìm tổng số cây đội đó trồng được
Lời giải chi tiết :
Phân số chỉ số cây còn lại sau ngày 1 là
  1 - $\Large{\frac{1}{3}}$ = $\Large{\frac{2}{3}}$ (tổng số cây)

Phân số chỉ số cây đội đó trồng ngày 2 là
  $\Large{\frac{6}{11}}$ x $\Large{\frac{2}{3}}$ = $\Large{\frac{4}{11}}$ (tổng số cây)

Phân số chỉ số cây đội đó trồng ngày 3 là
  1 - ($\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{4}{11}}$) = $\Large{\frac{10}{33}}$ (tổng số cây)

Phân số ứng với 30 cây là
  $\Large{\frac{4}{11}}$ - $\Large{\frac{10}{33}}$ = $\Large{\frac{2}{33}}$ (tổng số cây)

Tổng số cây đội đó trồng là
  30 : $\Large{\frac{2}{33}}$ = 495 (cây)

   Đáp số: 495 cây

Bài 10 : (Cầu Giấy 2019 – 2020)
Cho một số bóng xanh và vàng. Số bóng vàng bằng $\Large{\frac{1}{3}}$ bóng xanh. Nếu thêm 6 bóng vàng thì bóng vàng bằng $\Large{\frac{5}{9}}$ bóng xanh. Tính số bóng xanh.
 
Phương pháp giải :
  - Tìm 6 quả bóng tương ứng với bao nhiêu phần của bóng xanh
  - Tìm số bóng xanh
Lời giải chi tiết :
6 quả bóng vàng ứng với số phần bóng xanh là
  $\Large{\frac{5}{9}}$ - $\Large{\frac{1}{3}}$ = $\Large{\frac{2}{9}}$ (bóng xanh)
Số bóng xanh là
  6 : $\Large{\frac{2}{9}}$ = 27 (quả)
  Đáp số: 27 bóng xanh

Bài 11 : (ASM 2019 – 2020)
Cho phân số $\Large{\frac{14}{17}}$. Hỏi cùng thêm vào cả tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số mới có giá trị bằng $\Large{\frac{6}{7}}$ 
 
Phương pháp giải :
  - Khi cùng thêm vào tử số và mẫu số một số đơn vị thì hiệu của tử số và mẫu số không đổi.
  - Giải bài toán hiệu - tỉ để tìm tử số hoặc mẫu số của phân số mới
  - Kết luận số cần tìm
Lời giải chi tiết :
Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số $\Large{\frac{14}{17}}$ là
  17 – 14 = 3
Khi ta cùng thêm vào tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử số và mẫu số không đổi.
Ta có sơ đồ về tử số và mẫu số của phân số mới:
Tử số của phân số mới là
                       3 x 6 = 18
               Số cộng thêm vào là
                        18 – 14 = 4
                             Đáp số: 4

Bài 12 : Cửa hàng có một số hộp sữa đã bán hết trong 4 ngày. Ngày đầu bán $\Large{\frac{1}{3}}$ số hộp sữa. Ngày thứ hai bán $\Large{\frac{1}{3}}$ số hộp sữa còn lại. Ngày thứ ba bán $\Large{\frac{1}{3}}$ số hộp sữa còn lại sau 2 ngày. Ngày thứ tư bán 16 hộp thì hết. Hỏi cả 4 ngày cửa hàng bán hết bao nhiêu hộp sữa?

Phương pháp giải :
   - Tìm phân số chỉ số hộp sữa bán trong ngày thứ hai, ngày thứ ba, ngày thứ tư
   - Tìm số hộp sữa bán trong 4 ngày = 16 : phân số chỉ số hộp sữa bán trong ngày thứ tư
Lời giải chi tiết :
Phân số chỉ số hộp sữa bán trong ngày thứ hai là
   $\Large{\frac{1}{3}}$ ( 1 - $\Large{\frac{1}{3}}$) = $\Large{\frac{2}{9}}$ (tổng số hộp sữa)
Phân số chỉ số hộp sữa bán trong ngày thứ ba là
   $\Large{\frac{1}{3}}$ x (1 - $\Large{\frac{1}{3}}$ - $\Large{\frac{2}{9}})$ = $\Large{\frac{4}{27}}$ (tổng số hộp sữa)
Phân số chỉ số hộp sữa bán trong ngày thứ tư là
    1 - ($\Large{\frac{1}{3}}$ + $\Large{\frac{2}{9}}$ + $\Large{\frac{4}{27}}$ ) = $\Large{\frac{8}{27}}$ (tổng số cây)
Cả 4 ngày cửa hàng bán số hộp sữa là
   16 : $\Large{\frac{8}{27}}$ = 54 (hộp)
   Đáp số: 54 hộp sữa

Bài 13 : Cho phân số $\Large{\frac{65}{34}}$. Hãy tìm số tự nhiên a sao cho khi bớt a ở tử số và thêm a vào mẫu số ta được phân số mới, rút gọn phân số mới ta được phân số $\Large{\frac{4}{5}}$.
 
Phương pháp giải :
   - Khi bớt ở tử số a đơn vị và thêm vào mẫu số a đơn vị thì tổng của tử số và mẫu số của phân số mới không thay đổi 
   - Giải bài toán tổng, tỉ để tìm tử số của phân số mới
   - Tìm số a
Lời giải chi tiết :
Tổng của tử số và mẫu số của phân số $\Large{\frac{65}{34}}$ là
   54 + 63 = 117
Khi bớt ở tử số a đơn vị và thêm vào mẫu số a đơn vị thì tổng của tử số và mẫu số của phân số mới không thay đổi và bằng 117.
Ta có
   $\Large{\frac{65 - a}{34 + a}}$ = $\Large{\frac{4}{5}}$
   Tử số của phân số mới là 117 : (4 + 5) x 4 = 52
Ta có 54 – a = 52. Vậy a = 2
   Đáp số: a = 2

Bài 14 : Cho phân số $\Large{\frac{234}{369}}$. Hỏi cùng phải bớt ở tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số mới và rút gọn phân số mới đó ta được phân số $\Large{\frac{5}{8}}$
 
Phương pháp giải :
   - Khi cùng bớt ở tử số và mẫu số một số đơn vị thì hiệu của tử số và mẫu số ở phân số mới không đổi
   - Giải bài toán hiệu - tỉ để tìm tử số của phân số mới
   - Tìm số đã bớt
Lời giải chi tiết :
Hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số $\Large{\frac{234}{369}}$ là
   369 – 234 = 135
Khi cùng bớt ở tử số và mẫu số một số đơn vị thì hiệu của tử số và mẫu số ở phân số mới không đổi và bằng 135.
Gọi số cần tìm là a ta có:
   $\Large{\frac{234-a}{369-a}}$ = $\Large{\frac{5}{8}}$
Tử số của phân số mới là
   135 : (8 – 5) x 5 = 225
Ta có 234 – a = 225. Vậy a = 9
    Đáp số: a = 9

4444
Bài 15 : Cho phân số $\Large{\frac{a}{b}}$. Rút gọn phân số $\Large{\frac{a}{b}}$ ta được phân số $\Large{\frac{5}{7}}$ . Nếu thêm 71 vào tử số và giữ nguyên mẫu số, ta được phân số $\Large{\frac{18}{11}}$. . Tìm phân số $\Large{\frac{a}{b}}$
 
Lời giải chi tiết :
Theo đề bài ta có $\Large{\frac{a}{b}}$ = $\Large{\frac{5}{7}}$ và $\Large{\frac{a + 71}{b}}$ = $\Large{\frac{18}{11}}$
Thay phân số $\Large{\frac{a}{b}}$ bằng giá trị $\Large{\frac{5}{7}}$ vào (*) ta có:
   $\Large{\frac{5}{7}}$ + $\Large{\frac{71}{b}}$ = $\Large{\frac{18}{11}}$
Vậy $\Large{\frac{71}{b}}$ = $\Large{\frac{18}{11}}$ = $\Large{\frac{5}{7}}$ = $\Large{\frac{71}{77}}$
Vậy b = 77.
Ta có $\Large{\frac{a}{77}}$ = $\Large{\frac{5}{7}}$
Vậy a = 55.
Phân số $\Large{\frac{a}{b}}$ cần tìm là $\Large{\frac{5}{77}}$

Bài 16 : Cho phân số $\Large{\frac{12}{21}}$.  Hỏi phải cùng thêm vào tử số và mẫu số của phân số này bao nhiêu đơn vị để được phân số bằng $\Large{\frac{8}{11}}$
 
Phương pháp giải :
   - Khi cùng thêm vào tử số và mẫu số của phân số này một số đơn vị thì hiệu giữa mẫu số và tử số không đổi
   - Giải bài toán hiệu - tỉ để tìm tử số của phân số mới
   - Tìm số cộng thêm
Lời giải chi tiết :
Hiệu của tử số và mẫu số của phân số $\Large{\frac{12}{21}}$ là
   21 – 12 = 9
   Khi cùng thêm vào tử số và mẫu số của phân số này một số đơn vị thì hiệu giữa mẫu số và tử số không đổi và bằng 9.
   Ta có tỉ số giữa tử số và mẫu số của phân số mới bằng $\Large{\frac{8}{11}}$
   Tử số của phân số mới là 9 : (11 – 8) x 8 = 24
Vậy số cần cộng thêm vào tử số và mẫu số là 24 – 12 = 12
    Đáp số: 12

Bài 17 : Một người bán hàng vải, lần thứ nhất bán $\Large{\frac{1}{2}}$ tấm vải, lần thứ hai bán $\Large{\frac{1}{3}}$ tấm vải đó thì tấm vải chỉ còn lại 7 m. Hỏi tấm vải đó dài bao nhiêu mét?
 
Phương pháp giải :
   - Tìm phân số chỉ số vải bán hai lần đầu
   - Tìm phân số chỉ số vải còn lại 
   - Tìm chiều dài tấm vải
Lời giải chi tiết :
Phân số chỉ số vải bán hai lần đầu là:
   $\Large{\frac{1}{2}}$ + $\Large{\frac{1}{3}}$ = $\Large{\frac{5}{6}}$ (tấm vải)
Phân số chỉ số vải còn lại là
   1 - $\Large{\frac{5}{6}}$ = $\Large{\frac{1}{6}}$ (tấm vải)
Tấm vải dài là:
   7 : $\Large{\frac{1}{6}}$ = 42 (m)
   Đáp số: 42 m

Bài 18 : Một thửa ruộng năm nay thu hoạch nhiều hơn năm ngoái 30 tạ. Biết $\Large{\frac{1}{7}}$ số thu hoạch năm ngoái thì bằng $\Large{\frac{1}{12}}$ số thu hoạch năm nay. Hỏi năm nay thu hoạch ở thửa ruộng đó được bao nhiêu tạ? 
 
Phương pháp giải :
   - Tìm tỉ số số thóc thu hoạch được năm ngoái so với năm nay
   - Giải bài toán hiệu - tỉ
Lời giải chi tiết :
Vì $\Large{\frac{1}{7}}$ số thu hoạch năm ngoái thì bằng $\Large{\frac{1}{12}}$ số thu hoạch năm nay nên số thu hoạch của năm ngoái so với thu hoạch của năm nay là
   $\Large{\frac{1}{12}}$ x 7 = $\Large{\frac{7}{12}}$ (số thu hoạch năm nay)
Hiệu số phần bằng nhau là
   12 – 7 = 5 (phần)
Năm nay thửa ruộng thu được số tạ thóc là
   30 : 5 x 12 = 72 (tạ)
   Đáp số: 72 tạ


Bài 19 : Một người bán trứng bán lần thứ nhất  $\Large{\frac{1}{5}}$ số trứng, lần thứ hai bán $\Large{\frac{3}{8}}$ số trứng thì còn lại 17 quả. Hỏi người đó đem bán bao nhiêu quả trứng và mỗi lần bán bao nhiêu quả? 
 
Phương pháp giải :
   - Tìm phân số chỉ số trứng bán lần thứ nhất và lần thứ hai
   - Tìm phân số chỉ số trứng còn lại
   - Tìm số trứng người đó đem đi bán = 17 : phân số chỉ số trứng còn lại
   - Tìm số trứng bán ở lần thứ nhất, lần thứ hai
Lời giải chi tiết :
Phân số chỉ số quả trứng bán lần thứ nhất và lần thứ hai là
   $\Large{\frac{1}{5}}$ + $\Large{\frac{3}{8}}$ = $\Large{\frac{23}{40}}$ (số trứng)
Phân số chỉ số trứng còn lại là
   1 - $\Large{\frac{23}{40}}$ = $\Large{\frac{17}{40}}$ (số trứng)
Số trứng người đó đem đi bán là
   17: $\Large{\frac{17}{40}}$ = 40 (quả)
Số trứng bán lầ thứ nhất là
   40 x $\Large{\frac{1}{5}}$ = 8(quả)
Số trứng bán lần thứ hai là
   40 x $\Large{\frac{3}{8}}$ = 15(quả)
   Đáp số: 40 quả
   Lần 1: 8 quả, lần 2: 15 quả

Bài 20 : Hai chị em được 110 000 đồng tiền mừng tuổi. Nếu chị cho em 2000 đồng thì số tiền của chị bằng $\Large{\frac{5}{6}}$ số tiền của em. Hỏi mỗi người được bao nhiêu tiền mừng tuổi.
 
Phương pháp giải :
   - Khi chị cho em 2000 đồng thì tổng số tiền của hai chị em không đổi vẫn bằng 110 000 đồng.
   - Tìm số tiền của chị sau khi cho em 2000 đồng bằng cách giải bài toán tổng, tỉ
   - Tìm số tiền của chị, em lúc đầu
Lời giải chi tiết :
Khi chị cho em 2000 đồng thì tổng số tiền của hai chị em không đổi vẫn bằng 110 000 đồng.
Số tiền của chị sau khi cho em 2000 đồng là
   110 000 : (5 + 6) x 5 = 50 000 (đồng)
Số tiền của chị ban đầu là
   50 000 + 2000 = 52 000 (đồng)
Số tiền của em là
   110 000 – 52 000 = 58 000 (đồng)
   Đáp số: 58 000 đồng

0 Comments:

Đăng nhận xét

 
Top