Giải chuyên đề 2: Dạng 3: Các bài toán về số tự nhiên và tổng, hiệu, tích các chữ số của nó

Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên:
$\overline{ab}$ = a x 10 +b
$\overline{abc}$ = a x 100 + b x 10 + c
   = $\overline{ab}$ x 10 + c
   = a x 100 + $\overline{bc}$
$\overline{abcd}$ = a x 100 + b x 100 + c x 10 + d
   = $\overline{abc}$ x 10 + d
   = a x 100 + $\overline{bcd}$
Một số cách phân tích đặc biệt:
  $\overline{a00}$ = a x 100
  $\overline{aaa}$ = a x 111
  $\overline{abab}$ = $\overline{ab}$ x 101
  $\overline{ababab}$ = $\overline{ab}$ x 10101

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: Số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó?

 

Giải
Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ .
Theo đề bài ta có:
   $\overline{ab}$ = 5 x (a + b)
   10 x a + b = 5 x a + 5 x b
   10 x a – 5 x a = 5 x b – b
   (10 – 5) x a = (5 – 1) x b
   5 x a = 4 x b
Từ đây ta suy ra b chia hết cho 5. Vậy b = 0 hoặc 5
   - Nếu b = 0 thì a = 0 (loại)
   - Nếu b = 5 thì 5 x a = 20, vậy a = 4
Vậy số cần tìm là 45.

Ví dụ 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương bằng 28 và dư 1?

 

Giải:
Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ và hiệu các chữ số của nó là c.
Theo đề bài ta có:
   $\overline{ab}$ = c x 28 + 1
Vì $\overline{ab}$ < 100 nên c x 28 < 99
Vậy c = 1; 2 hoặc 3
   - Nếu c = 1 thì $\overline{ab}$ = 29
Thử lại: 9 – 2 = 7; 29 : 7 = 4 (dư 1) (loại)
   - Nếu c = 2 thì $\overline{ab}$ = 57
Thử lại: 7 – 5 = 2; 57 : 2 = 28 (dư 1)
   - Nếu c = 3 thì $\overline{ab}$ = 85
Thử lại: 8 – 5 = 3; 85 : 3 = 28 (dư 1)
Vậy số cần tìm là 57 hoặc 85.

Ví dụ 3: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.

 

Giải
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$
Theo đề bài ta có:
   $\overline{abc}$ = 5 x a x b x c
Vì 5 x a x b x c chia hết cho 5 nên $\overline{abc}$ chia hết cho 5.
Vậy c = 0 hoặc 5. Nhưng c không thể bằng 0, vậy c = 5
Số cần tìm có dạng $\overline{ab5}$. Thay vào ta có:
   $\overline{ab5}$. = 5 x a x b x 5
   $\overline{ab5}$. = 25 x a x b
Vì 25 x a x b chia hết cho 25 nên $\overline{ab5}$ chia hết cho 25.
Suy ra b = 2 hoặc 7.
Vì 25 x a x b là số lẻ nên b = 7.
Thay vào ta có $\overline{a75}$ = 25 x a x 7
Tìm được a = 1
Vậy số cần tìm là 175.

Bài tập áp dụng:

Bài 1 :

Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 6 lần tổng các chữ số của nó.

 

Đề bài
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 6 lần tổng các chữ số của nó.
Phương pháp giải :
Áp dụng cách phân tích cấu tạo số để giải bài toán
Lời giải chi tiết :
Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (a khác 0)
Ta có: $\overline{ab}$ = 6 (a + 6)
   10 x a + b = 6 x a + 6 x b
Hay 4 x a = 5 x b
Vậy số cần tìm là 54

Bài 2 :

Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó.

 

Đề bài
   Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó.
Phương pháp giải :
   Áp dụng cách phân tích cấu tạo số để giải bài toán
Lời giải chi tiết :
Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$. (a khác 0)
Ta có: $\overline{ab}$. = 7 x (a + b)
   10 x a + b = 7 x a + 7 x b
   3 x a = 6 x b
Hay a = 2 x b
Vậy số cần tìm là 21, 42, 63, 84.

Bài 3 :

Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị.

 

Đề bài
   Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị.
Phương pháp giải :
   Áp dụng cách phân tích cấu tạo số để giải bài toán
Lời giải chi tiết :
Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$. (a khác 0)
Ta có: $\overline{ab}$. = 21 x (a - b)
   10 x a + b = 7 x a - 21 x b
   22 x b = 11 x a
Hay a = 2 x b
Vậy số cần tìm là 21, 42, 63, 84.

Bài 4 :

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 3 lần tích các chữ số của nó.

 

Đề bài
   Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 3 lần tíc các chữ số của nó.
Phương pháp giải :
   Áp dụng cách phân tích cấu tạo số để giải bài toán
Lời giải chi tiết :
Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$. (a khác 0)
Ta có: $\overline{ab}$. = 3 x (a - b)
   10 x a + b = 3 x a x b
Vế phải chia hết cho a mà 10 x a chia hết cho a. Suy ra b chia hết cho a.
Xét hai trường hợp:
   - Nếu b = a thì 10 x a + a = 3 x a x a (loại)
   - Nếu b khác a, bằng phương pháp thử chọn ta tìm được các số 15 và 24 thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Bài 20