Giải chuyên đề 3: Bài tập tự luyện: Chữ số tận cùng

Bài 1 :

Không thực hiện các phép tính, hãy cho biết mỗi kết quả sau có tận bằng chữ số nào?

    a) (1999 + 2378 + 4545 + 7956) – (315 + 598 + 736 + 89)

    b) 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ... x 2019

    c) 11 x 13 x 15 x 17 + 23 x 25 x 27 x 29 + 31 x 33 x 35 x 37 + 45 x 47 x 49 x 51

    d) 56 x 66 x 76 x 86 – 51 x 61 x 71 x 81

 

Đề bài
Không thực hiện các phép tính, hãy cho biết mỗi kết quả sau có tận bằng chữ số nào?
  a) (1999 + 2378 + 4545 + 7956) – (315 + 598 + 736 + 89)
  b) 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ... x 2019
  c) 11 x 13 x 15 x 17 + 23 x 25 x 27 x 29 + 31 x 33 x 35 x 37 + 45 x 47 x 49 x 51
  d) 56 x 66 x 76 x 86 – 51 x 61 x 71 x 81
Lời giải chi tiết :
a) Tổng 1999 + 2378 + 4545 + 7956 có chữ số tận cùng là 8
  Tổng 315 + 598 + 736 + 89 có chữ số tận cùng là 8
  Vậy (1999 + 2378 + 4545 + 7956) – (315 + 598 + 736 + 89) có chữ số tận cùng bằng 0.
  b) Tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ... x 2019 có tận cùng bằng 5 vì trong tích có thừa số 5 và các thừa số còn lại đều là số lẻ.
  c) Các tích 11 x 13 x 15 x 17 ; 23 x 25 x 27 x 29 ; 31 x 33 x 35 x 37 và 45 x 47 x 49 x 51 đều có tận cùng bằng 5 nên kết quả của phép tính có chữ số tận cùng là 0.
  d) Tích 56 x 66 x 76 x 86 có tận cùng là 6.
  Tích 51 x 61 x 71 x 81 có tận cùng là 1
Vậy 56 x 66 x 76 x 86 – 51 x 61 x 71 x 81 có kết quả tận cùng là 5.

Bài 2 :

Kết quả của dãy tính sau tận cùng là chữ số nào?

    a) 1991 x 1992 x 1993 x 1994 + 1995 x 1996 x 1997 x 1998 x 1999

    b) 1992 x 1993 x 1994 x 1995 + 1996 x 1997 x 1998 x 2000

 

Đề bài
Kết quả của dãy tính sau tận cùng là chữ số nào?
  a) 1991 x 1992 x 1993 x 1994 + 1995 x 1996 x 1997 x 1998 x 1999
  b) 1992 x 1993 x 1994 x 1995 + 1996 x 1997 x 1998 x 2000
Phương pháp giải :
   Tìm chữ số tận cùng của mỗi tích.
Lời giải chi tiết :
a) Ta có 1 x 2 x 3 x 4 có tận cùng là 4.
    5 x 6 x 7 x 8 x 9 có tận cùng là 0
Nên 1991 x 1992 x 1993 x 1994 + 1995 x 1996 x 1997 x 1998 x 1999 có tận cùng là 4.
b) Ta có 2 x 3 x 4 x 5 có tận cùng là 0
      6 x 7 x 8 x 0 có tận cùng là 0
    Nên 1992 x 1993 x 1994 x 1995 + 1996 x 1997 x 1998 x 2000 có tận cùng là 0

Bài 3 :

Tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:

A = 1 x 2 x 3 x …. x 2019

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:
A = 1 x 2 x 3 x …. x 2019
Phương pháp giải :
Biểu thức có thừa số 5 nhân với một số chẵn cho chữ số tận cùng là 0.
Lời giải chi tiết :
Biểu thức A có chữ số tận cùng là 0 vì 5 nhân với một số chẵn cho số có tận cùng là 0.

Bài 4 :

Tìm chữ số tận cùng của dãy sau: 11 x 13 x 15 x …. x 2019.

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của dãy sau: 11 x 13 x 15 x …. x 2019.
Phương pháp giải :
Tích của thừa số có tận cùng là 5 với các số lẻ cho chữ số tận cùng là 5.
Lời giải chi tiết :
Tích trên có tận cùng là 5 vì 5 nhân với các số lẻ cho tích có tận cùng là 5.

Bài 5 :

Tích 1 x 2 x 3 x …. x 98 x 99 x 100 có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

 

Đề bài
Tích 1 x 2 x 3 x …. x 98 x 99 x 100 có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Phương pháp giải :
Mỗi thừa số 5 nhân với một số chẵn cho 1 chữ số 0 tận cùng.
Để tìm tích trên tận cùng là bao nhiêu chữ số 0 ta tìm số thừa số 5 có trong tích đó.
Lời giải chi tiết :
Các thừa số chia hết cho 5 trong tích trên là: 5 , 10 , 15, 20, ….., 100
    Số thừa số chia hết cho 5 là (100 – 5) : 5 + 1 = 20 (số)
    Số thừa số chia hết cho 25 là (100 – 25) : 25 + 1 = 4 (số)
Ta có 25 = 5 x 5
    50 = 5 x 5 x 2
    75 = 5 x 5 x 3
   100 = 5 x 5 x 4
Số thừa số 5 trong tích là 20 + 4 = 24 (thừa số 5)
Mỗi thừa số 5 khi nhân với một số chẵn cho 1 chữ số 0 tận cùng.
Vậy tích đã cho có 24 chữ số 0 tận cùng.

Bài 6 :

Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

A = 34 x 35 x 36 x …. x 85

 

Đề bài
Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
  A = 34 x 35 x 36 x …. x 85
Phương pháp giải :
Mỗi thừa số 5 khi nhân với một số chẵn cho tận cùng là 1 chữ số 0.
Muốn tìm tích trên tận cùng là bao nhiêu chữ số 0 ta tìm số thừa số 5 có trong tích đó.
Lời giải chi tiết :
Các thừa số chia hết cho 5 trong tích trên là: 35 ; 40 ; 45 ; ….. 85
Số thừa số chia hết cho 5 là
   (85 – 35) : 5 + 1 = 11 (số)
Có 2 thừa số chia hết cho 25 là 50 và 75
Trong đó: 50 = 5 x 5 x 2
    75 = 5 x 5 x 3
Số thừa số 5 trong tích là 11 + 2 = 13 (thừa số 5)
Mỗi thừa số 5 khi nhân với một số chẵn cho tận cùng là 1 chữ số 0.
Vậy tích đã cho có 13 chữ số 0 tận cùng.

Bài 7 :

Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

S = 29 x 30 x 31 x ….. x 255

 

Đề bài
Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
   S = 29 x 30 x 31 x ….. x 255
Phương pháp giải :
Muốn tìm tích trên tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ta tìm số thừa số 5 có trong tích đó.
Lời giải chi tiết :
Các thừa số chia hết cho 5 là: 30 ; 35 ; 40 ; ….. 255
Số thừa số chia hết cho 5 là
  (255 – 30) : 5 + 1 = 46 (số)
Các thừa số chia hết cho 25 trong tích trên là 50 ; 75 ; 100 ; …. 250
Số thừa số chia hết cho 25 trong dãy trên là
         (250 – 50) : 25 + 1 = 9 (số)
Có 2 thừa số chia hết cho 125 trong dãy trên là 125 và 250.
Số thừa số 5 trong tích là 46 + 9 + 2 = 57 (thừa số 5)
Vậy tích đã cho tận cùng là 57 chữ số 0.

Bài 8 :

Tìm chữ số tận cùng của: A = 2 x 2 x 2 x ... x 2 (101 số 2)

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của: A = 2 x 2 x 2 x ... x 2 (101 số 2)
Phương pháp giải :
Ta có 2 x 2 x 2 x 2 cho chữ số tận cùng là 6
Thực hiện phép chia 101 : 4 từ đó tìm được chữ số tận cùng của tích đã cho.
Lời giải chi tiết :
Ta có 2 x 2 x 2 x 2 = 14 nên tích của 4 số 2 cho chữ số tận cùng là 6
Mà 101 : 4 = 25 (dư 1)
Vậy 101 thừa số 2 ta nhóm được 25 nhóm và dư 1 thừa số 2.

Mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 6.
Ta có tích của các thừa số 6 là 6 x 6 x ..… x 6 có tận cùng là 6.
Vậy A có chữ số tận cùng là 2.

Bài 9 :

Tìm chữ số tận cùng của S = 9 x 9 x 9 x 9 x ...x 9 x 9 (2020 số 9)

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của S = 9 x 9 x 9 x 9 x ...x 9 x 9 (2020 số 9)
Phương pháp giải :
Ta có 9 x 9 x 9 x 9 có chữ số tận cùng là 1.
Thực hiện phép chia 2020 : 4 từ đó tìm được chữ số tận cùng của tích đã cho.
Lời giải chi tiết :
Ta có 9 x 9 x 9 x 9 = 6561 nên tích của 4 thừa số 9 có chữ số tận cùng là 1
Mà 2020 : 4 = 505
Vậy 2020 thừa số 9 được chia thành 505 nhóm, mỗi nhóm 4 thừa số 9.

Mỗi nhóm đều có chữ số tận cùng là 1.
Ta có tích của các thừa số 1 có tận cùng là 1.
Vậy S có chữ số tận cùng là 1.

Bài 10 :

Tìm chữ số tận cùng của S = 3 x 13 x 23 x 33 x ... x 2013

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của S = 3 x 13 x 23 x 33 x ... x 2013
Phương pháp giải :
   - Ta có tích của 4 thừa số có tận cùng là 3 thì cho chữ số tận cùng là 1.
   - Tìm số thừa số của tích đã cho
   - Lấy số số hạng của dãy : 4, từ đó tìm được chữ số tận cùng của tích đã cho.
Lời giải chi tiết :
Dãy trên gồm các thừa số có tận cùng là 3
Số các thừa số trong tích trên là (2013 – 3) : 10 + 1 = 202 (số)
Ta có 3 x 3 x 3 x 3 = 81 nên tích của 4 thừa số có tận cùng là 3 thì cho chữ số tận cùng là 1.
Mà 202 : 4 = 50 (dư 2)
Vậy 202 thừa số được chia thành 50 nhóm (Mỗi nhóm gồm 4 thừa số) và dư 2 thừa số.
Xét tích các chữ số tận cùng của các thừa số:

Mỗi nhóm đều có tận cùng bằng 1.
Vậy S có chữ số tận cùng là 9

Bài 11 :

Tìm chữ số tận cùng của S = 7 x 17 x 27 x ... x 2037 x 2047

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của S = 7 x 17 x 27 x ... x 2037 x 2047
Phương pháp giải :
   - Tìm số thừa số trong tích trên
   - Tích của 4 thừa số 7 là 7 x 7 x 7 x 7 có tận cùng là 1
   - Lấy số số hạng : 4, từ đó tìm được chữ số tận cùng của tích đã cho.
  Lời giải chi tiết :
Nhận xét: Các thừa số trong tích trên đều có tận cùng là 7.
   Số các thừa số trong tích trên là (2047 – 7) : 10 + 1 = 205 (số)
   Ta có tích của 4 thừa số 7 là 7 x 7 x 7 x 7 có tận cùng là 1
   Mà 205 : 4 = 51 (dư 1)
Vậy tích đã cho được chia thành 51 nhóm (mỗi nhóm 4 thừa số) và dư 1 thừa số
Xét tích các chữ số tận cùng của các thừa số:

Mỗi nhóm có tận cùng là chữ số 1.
Vậy S có chữ số tận cùng là 7.

Bài 12 :

Lấy số 4 nhân với chính nó 2007 lần. Hỏi kết quả của phép tính có chữ số hàng đơn vị bằng bao nhiêu.

 

Đề bài
Lấy số 4 nhân với chính nó 2007 lần. Hỏi kết quả của phép tính có chữ số hàng đơn vị bằng bao nhiêu.
Phương pháp giải :
   - Tích của 4 thừa số 4 là 4 x 4 x 4 x 4 có tận cùng là 6
   - Lấy 2007 : 4, từ đó tìm được chữ số tận cùng của tích đã cho.
Lời giải chi tiết :
Ta có tích của 4 thừa số 4 là 4 x 4 x 4 x 4 có tận cùng là 6
Mà 2007 : 4 = 501 (dư 3)
Vậy 2007 thừa số được chia thành 501 nhóm (mỗi nhóm gồm 4 thừa số 4) và dư 3 thừa số 4

Mỗi nhóm có tận cùng là 6. Ta có tích của các thừa số 6 có tận cùng là 6.
Vậy tích của 2007 thừa số 4 có tận cùng là chữ số 4.

Bài 13 :

Lấy số 7 nhân với chính nó 78 lần thì được một số có chữ số tận cùng bằng bao nhiêu.

 

Đề bài
Lấy số 7 nhân với chính nó 78 lần thì được một số có chữ số tận cùng bằng bao nhiêu.
Phương pháp giải :
Tích của 4 thừa số 7 là 7 x 7 x 7 x 7 có tận cùng là 1
Lấy 78 : 4 từ đó tìm được chữ số tận cùng của tích đã cho.
Lời giải chi tiết :
Ta có tích của 4 thừa số 7 là 7 x 7 x 7 x 7 có tận cùng là 1
Mà 78 : 4 = 19 (dư 2)
Vậy 78 thừa số được chia thành 19 nhóm (mỗi nhóm gồm 4 thừa số) và dư 2 thừa số

Mỗi nhóm có tận cùng là 1.
Vậy tích của 78 thừa số 7 có chữ số tận cùng là 9.

Bài 14 :

Tìm chữ số tận cùng của dãy sau: 11 x 13 x 15 x 17 x ... x 2019

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của dãy sau: 11 x 13 x 15 x 17 x ... x 2019
Phương pháp giải :
Tích của thừa số có tận cùng là 5 nhân với các số lẻ cho chữ số tận cùng là 5.
Lời giải chi tiết :
Tích 11 x 13 x 15 x 17 x ... x 2019 có tận cùng bằng 5 vì trong tích có thừa số tận cùng 5 nhân với các số lẻ.

Bài 15 :

Tìm chữ số tận cùng của S = 4 x 4 x 4 x 4 x ... x 4 x 4 (2019 số 4)

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của S = 4 x 4 x 4 x 4 x ... x 4 x 4 (2019 số 4)
Phương pháp giải :
   - Ta có tích của 4 thừa số 4 (4 x 4 x 4 x 4) có chữ số tận cùng là 6.
   - Thực hiện phép chia 2019 : 4, từ đó tìm được chữ số tận cùng của tích đã cho.
  Lời giải chi tiết :
Ta có 4 x 4 x 4 x 4 = 256 có tận cùng là 6
Mà 2019 : 4 = 504 (dư 3)
Vậy 2019 thừa số được chia thành 504 nhóm (mỗi nhóm gồm 4 thừa số) và dư 3 thừa số

Mỗi nhóm có tận cùng là 6. Ta có tích của các thừa số 6 có tận cùng là 6.
Vậy tích của S có chữ số tận cùng là 4.

Bài 16 :

Tìm chữ số tận cùng của S = 9 x 19 x 29 x ... x 2019 x 2029

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của S = 9 x 19 x 29 x ... x 2019 x 2029
Phương pháp giải :
- Tìm số thừa số có trong tích trên
- Tích của 4 thừa số 9 là 9 x 9 x 9 x 9 có tận cùng là 1
- Lấy số thừa số chia cho 4, từ đó tìm được chữ số tận cùng của tích đã cho.
Lời giải chi tiết :
Số các thừa số trong tích trên là (2029 – 9) : 10 + 1 = 203 (số)
Nhận xét: Các thừa số trong tích đều có tận cùng là 9.
Ta có tích của 4 thừa số 9 là 9 x 9 x 9 x 9 có tận cùng là 1
Mà 203 : 4 = 50 (dư 3)
Vậy 203 thừa số được chia thành 50 nhóm (mỗi nhóm gồm 4 thừa số) và dư 3 thừa số.
Xét tích các chữ số tận cùng của các thừa số:

Mỗi nhóm có tận cùng là 1.
Vậy S có chữ số tận cùng là 9.

Bài 17 :

Tìm chữ số tận cùng của kết quả sau:

A = 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ... x 2019 + 2 x 4 x 6 x 8 x ... x 2018

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của kết quả sau:
A = 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ... x 2019 + 2 x 4 x 6 x 8 x ... x 2018
Phương pháp giải :
   - Tích của thừa số 5 nhân với số lẻ cho tận cùng là 5v
   - Tích của thừa số có tận cùng là 0 nhân với một số bất kì cho tận cùng là 0v
Lời giải chi tiết :
Tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ... x 2019 có tận cùng là 5 (Vì tích có thừa số 5 nhân với các số lẻ)
Tích 2 x 4 x 6 x 8 x ... x 2018 có tận cùng là 0 (Vì trong tích có các thừa số tận cùng là 0)
Vậy A có tận cùng là 5.

Bài 18 :

Tìm chữ số tận cùng của S = 2 x 2 x 2 x 2 x ... x 2 x 2 (2019 số 2)

 

Đề bài
Tìm chữ số tận cùng của S = 2 x 2 x 2 x 2 x ... x 2 x 2 (2019 số 2)
Phương pháp giải :
   - Tích của 4 thừa số 2 là 2 x 2 x 2 x 2 có tận cùng là 6
   - Lấy 2019 : 4, từ đó tìm được chữ số tận cùng của tích đã cho.
Lời giải chi tiết :
Ta có tích của 4 thừa số 2 là 2 x 2 x 2 x 2 có tận cùng là 6
Mà 2019 : 4 = 504 (dư 3)
Vậy 2019 thừa số được chia thành 504 nhóm (mỗi nhóm 4 thừa số) và dư 3 thừa số

Mỗi nhóm có tận cùng là 6. Ta có tích của các thừa số 6 có tận cùng là 6.
Vậy S có chữ số tận cùng là 8.

Bài 19a

Bài 19

Bài 20a

Bài 20