Giải chuyên đề 3: Phương pháp giải bài toán về chữ số tận cùng

1. Chữ số tận cùng là các chữ số khác 0

- Chữ số tận cùng của tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.

- Chữ số tận cùng của tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.

- Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 9 có chữ số tận cùng bằng 5.

- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số lẻ có tận cùng là 5.

- Tích hai số có chữ số tận cùng là các số tự nhiên liên tiếp chỉ có thể cho kết quả có các chữ số tận cùng là: 0, 2 hoặc 6.

- Tích của 4 thừa số 3 (3 x 3 x 3 x 3) có tận cùng là 1.

- Tích của 4 thừa số 2 (2 x 2 x 2 x 2) có tận cùng là 6.

- Tích của 4 thừa số 9 (9 x 9 x 9 x 9) có tận cùng là 1.

- Tích các số có tận cùng là 1 có tận cùng là 1.

- Tích của tất cả các số có tận cùng là 6 có tận cùng là 6.

- Tích của chẵn các thừa số 4 (4 x 4 = 16) có tận cùng là 6

- Tích của lẻ các thừa số 4 (4 x 4 x 4 = 64) có tận cùng là 4.

2. Chữ số tận cùng là các chữ số 0

- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số chẵn có tận cùng là 0.

- Khi nhân một số (khác số tròn chục, tròn trăm..) với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80; 90 ta được tích là số tận cùng là một chữ số 0.

- Các số 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85; 95; 105; 115; 135; 145; 165;..... khi nhân với một số chẵn ta được tích là số có tận cùng là một chữ số 0.

- Các số 25; 50; 75 khi nhân với một số chia hết cho 4 ta được tích là số có tận cùng là hai chữ số 0.

- Tích a x a không thể có chữ số tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 hoặc 8

Ví dụ 1: 

Không thực hiện các phép tính, tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:

(2001 + 2002 +….+ 2009) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109)

 

Giải:
Ta thấy chữ số tận cùng của tổng 2001 + 2002 +….+ 2009 bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + …+ 9
=> 2011 + 2012 +….+ 2019 có chữ số tận cùng là 5
Chữ số tận cùng của tổng 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + …+ 9
=> 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 có chữ số tận cùng là 5
Vậy (2001 + 2002 +…. + 2009) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109) có chữ số tận cùng là 0.

Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của biểu thức:

123 x 235 x 347 x 459 x 561 – 71 x 73 x 75 x 77 x 79

 

Giải:
Tìm chữ số tận cùng của 123 x 235 x 347 x 459 x 561
Ta xét 3 x 5 x 7 x 9 x 1 là tích của số 5 và các số lẻ nên có tận cùng là 5
=> 123 x 235 x 347 x 459 x 561 có chữ số tận cùng là 5
Tương tự ta có: 71 x 73 x 75 x 77 x 79 có chữ số tận cùng là 5
Vậy 123 x 235 x 347 x 459 x 561 – 71 x 73 x 75 x 77 x 79 có chữ số tận cùng là 0

Ví dụ 3. Tìm chữ số tận cùng của A = 3 x 3 x ….x 3 (50 thừa số 3)

 

Giải:
Ta có:  3 x 3 x 3 x 3 = 81, tích của 4 chữ số 3 cho chữ số tận cùng bằng 1.
Vì 50 : 3 = 16 dư 2
Vậy 50 thừa số 3 ta nhóm được 16 nhóm (mỗi nhóm 4 thừa số 3) và dư ra 2 thừa số 3
 A = (3 x 3 x 3 x 3) x ….x (3 x 3 x 3 x 3) x 3 x 3
Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 1
Vậy tích A có chữ số tận cùng là 9.

Ví dụ 4: Tích sau tận cùng bằng chữ số nào?

B = 4 x 14 x 24 x 34 x ….x 164

 

Giải:
Tích trên có số thừa số: (164 - 4) : 10 + 1 = 17 ( thừa số)
Ta có: 4 x 4 = 16, tích của 2 chữ số 4 cho chữ số tận cùng là 6.
Vì 17 : 2 = 8 dư 1
Vậy 17 thừa số trên ta nhóm được 8 nhóm (mỗi nhóm 2 thừa số) và dư ra 1 thừa số.
 B = (4 x 14) x (24 x 34) x …. x (144 x 154) x 164
Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 6, số 164 có tận cùng là 4
Vậy B có chữ số tận cùng là 4.

Ví dụ 5: Tích A = 4 x 11 x 15 x 6 x 17 x 25 x 45 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

 

Giải:
Tích của 4 và 25 có 2 chữ số 0 tận cùng
Tích của 6 và 45 có 1 chữ số 0 tận cùng
Vậy A có 3 chữ số 0 tận cùng.

Ví dụ 6: Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

A = 1 x 2 x 3 x …. x 50

 

Giải:
Các thừa số chia hết cho 5 trong tích trên là 5 ; 10 ; 15 ; …. 50
Số thừa số chia hết cho 5 là (50 – 5) : 5 + 1 = 10 (số)
Có 2 thừa số chia hết cho 25 là 25 và 50.
Ta có 25 = 5 x 5 và 50 = 5 x 5 x 2
Số thừa số 5 trong tích là 10 + 2 = 12 (thừa số 5)
Số thừa số chẵn là (50 – 2) : 2 + 1 = 25 (số)
Mỗi thừa số 5 khi nhân với một số chẵn cho tận cùng là 1 chữ số 0.
Vậy tích đã cho có 12 chữ số 0 tận cùng.

Ví dụ 7: Cho X = A - B, biết:

    A = 3 x 13 x 23 x.......x 2003 x 2013

    B = 2 x 12 x 22 x ........x 2002 x 2012

Hỏi X có chia hết cho 5 không?

 

Giải:
A có số các thừa số là: (2013 – 3) : 10 + 1 = 202 (thừa số)
B có số các thừa số là: (2012 – 2) : 10 + 1 = 202 (thừa số)
Ta thấy tích của 4 thừa số tận cùng là 3 sẽ có chữ số tận cùng là 1.
Vì 202 : 4 = 50 dư 2
Vậy A là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số tận cùng là 3) và dư ra 2 thừa số tận cùng là 3
  => A có tận cùng là 9.

Tương tự như trên: Tích của 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2 có tận cùng là 6.
Vì 202 : 4 = 50 dư 2
Vậy B là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2) và dư ra 2 thừa số có chữ số tận cùng là 2.
  => B tận cùng là 4.
Vậy X có tận cùng là 5 vì 9 – 4 = 5 nên X chia hết cho 5.

Bài 20